非Fock空間における無次元Lie群の表現論の研究

非Fock空间无量纲李群表示论研究

基本信息

批准号：
09J05106
负责人：
長谷部高広
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2009
资助国家：
日本
起止时间：
2009 至 2011
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J05106/
关键词：
自由確率論自由無限分解可能分布単調独立性キュムラント生成・消滅演算子自由Fock空間自由独立性単調フォック空間コーシー分布条件付き単調独立性狭義安定分布無限分解可能分布単調Fock空間レヴィ過程生成消滅演算子ゲージ群エネルギー表現

项目摘要

研究集会「The 35th Conference on Stochastic Processes and their Applications」(オアハカ、メキシコ)などに参加した際にレヴィ過程の研究者と議論をし、自由確率論の研究に役立てることができた。特にstable processに関するfirst hittingtimeの分布の具体的計算などを知ることができた。それを参考にして、あるクラスのベキ乗則をフーリエ変換、スチルチェス変換の漸近挙動によって特徴づけた。このクラスの確率測度のフーリエ変換とスチルチェス変換は単純な形をもつため、確率論や自由確率論の色々な場面で有用になるのではないかと思う。またメキシコやその他の国内外でOctavio Arizmendi、佐久間紀佳氏と共同研究を行い、自由無限分解可能分布に関する一般的性質を示した。すなわち、確率変数Xが自由無限分解可能分布に従う時、Xの2乗も自由無限分解可能分布に従う。またその応用として、確率変数X、Yがともに自由無限分解可能分布に従う時、交換子i(XY-YX)も自由無限分解可能分布を持つことが分かった。2乗や交換子は基本的な代数演算であるが、このような性質が成り立つ理由を自由Fock空間での生成・消滅演算子やランダム行列の観点から明らかにできると、さらに表現論など他分野に貢献できるだろう。また、非可換代数では様々な「キュムラント」概念が定義できることが知られているが、それらを統合することを試みた。研究集会「14th Workshop: Non-commutative Hamonic Analysis」(Bedlowo,ポーランド)ではFranz Lehner氏と議論した結果、単調キュムラント、自由キュムラントなどが統合できることが分かってきた。特に「集合の順序付き分割」の組合せ論という観点から今後発展しうる研究だと思う。

当我参加“第 35 届随机过程及其应用会议”（墨西哥瓦哈卡）等研究会议时，我与 Lévy 过程研究人员进行了讨论，这些讨论我能够在自由概率论的研究中使用。特别是，我能够了解稳定过程的首次命中时间分布的具体计算。以此为参考，我通过傅里叶变换和 Stiltjes 变换的渐近行为来表征某类幂律。由于这类概率测度的傅里叶变换和Stiltjes变换具有简单的形式，我认为它们在概率论和自由概率论的各种情况下都会有用。他还与Octavio Arizmendi和Norika Sakuma在墨西哥和其他国家进行了联合研究，并证明了自由无限可分分布的一般性质。也就是说，当随机变量X服从自由无限可分分布时，X的平方也服从自由无限可分分布。作为其应用，我们发现当随机变量 X 和 Y 都服从自由无限可分分布时，换向器 i(XY-YX) 也具有自由无限可分分布。平方和交换子是基本的代数运算，但如果可以从自由福克空间中的创建/湮灭算子和随机矩阵的角度阐明这些性质成立的原因，那么它将在其他领域（例如表示论）中发挥作用。。此外，众所周知，可以在非交换代数中定义各种“累积量”概念，我尝试将它们整合起来。在研究会议“第14届研讨会：非交换谐波分析”（Bedlowo，波兰）上与Franz Lehner先生讨论的结果发现，单调累积量、自由累积量等可以积分。我认为这项研究将来可以得到发展，特别是从“集合的有序划分”的组合学角度。