高次元代数多様体の分類理論

高维代数簇分类论

• 批准号: 01J05895
• 负责人: 上原 北斗
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Kyoto University (2002)The University of Tokyo (2001)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J05895/
• 关键词: D-同値; K-同値; derived category; 小平次元

XとYをC上の滑らかな射影的代数多様体とする。もしXとYのderived categoryがtriangulated categoryとして同値であるとき,XとYはD-同値である,という。またX,Yに対しある射影的代数多様体Z,双有理射f : z→x, g : z→Yが存在しf^*k_x〜g^*k_YがみたされるときXとYはK-同値である,という。D-同値とK-同値の関係について,川又雄二郎による次の予想がある。予想 次は同値(i)XとYは双有理同値であり,かつD-同値。(ii)XとYはK-同値。川又は3次元で(ii)⇒(i)を示した。私は小平次元K(X)=K(Y)=-∞の場合について,この予想の(i)⇒(ii)の反例を与えた。さらに私はK(X)〓0,K(Y)〓0の場合についてはこの予想は正しいと考え,2次元の場合に次を得た。定理 XとYは2次元とする。もしXとYがD-同値だが同型でないとき(2次元では,K-同値と同型は同じことである)次のいずれかが成り立つ。(i)XとYはK3曲面。(ii)XとYはアーベル曲面。(iii)XとYは極小でK(X)=K(Y)=1(iv)XとYは極小楕円曲面でK(X)=K(Y)=-∞。この定理からK(X)〓0,K(Y)〓0の仮定の下では,2次元の場合上の予想が正しいことが示せる。また定理から,2次元の同値な多様体では小平次元が不変となることもわかる。以上を踏まえ,私は(1)3次元,K(X)〓0,K(Y)〓0を仮定した上での予想(i)⇒(ii)の解決,(2)3次元D-同値な多様体では小平次元が不変となること,の2つに取り組んでおり、すでにいくつかの部分的な結果を得ている。

令 X 和 Y 为 C 上的光滑射影代数簇。如果 X 和 Y 的派生范畴与三角范畴等价，那么我们说 X 和 Y 是 D 等价的。另外，对于 X，Y 存在射影代数簇 Z，双有理态射 f : z→x，g : z→Y，并且满足 f^*k_x〜g^*k_Y，则 X 和 Y 是 K - 他们据说是等价的。关于D等价与K等价的关系，川俣雄二郎有以下猜想。猜想 以下是等价性 (i) X 和 Y 是双有理等价性，D-等价性。 (ii) X 和 Y 是 K 等价的。 (ii)⇒(i) 显示在河流或三维中。对于小平维 K(X)=K(Y)=-∞ 的情况，我给出了这个猜想的 (i)⇒(ii) 的反例。此外，我认为这个猜想在K(X)〓0,K(Y)〓0的情况下是正确的，并在二维情况下得到以下结果。定理 X 和 Y 是二维的。如果 X 和 Y 是 D 等价但不是同构（在二维中，K 等价和同构是同一件事），则以下之一成立： (i) X 和 Y 是 K3 表面。 (ii) X 和 Y 是交换曲面。 (iii)X 和 Y 是最小椭圆面，K(X)=K(Y)=1 (iv)X 和 Y 是最小椭圆面，K(X)=K(Y)=-∞。由该定理可以证明，在K(X)〓0,K(Y)〓0的假设下，上述猜想在二维情况下是正确的。该定理还表明，小平维数对于二维等价流形是不变的。基于上述，我（1）解决猜想（i）⇒（ii）假设3维，K（X）〓0，K（Y）〓0，（2）3维D-等价我们目前正在研究关于两个问题：小平维数对于流形来说是不变的，并且我们已经获得了一些部分结果。