保型形式に対する玉河数予想と岩澤理論の研究

玉川数猜想和岩泽自守形式理论研究

• 批准号: 08J01079
• 负责人: 千田 雅隆
• 金额: $ 1.02万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08J01079/
• 关键词: L-不変量; p進L関数; Hilbert保型形式; 志村曲線; p進一意化; rigid解析的保型形式; harmonic cocycle; Coleman積分; Bloch-Kato予想; 保型形式; 岩澤理論; Heegner cycle; vanishing cycle; Selmer群

今年度はHilbert保型形式に付随するp進L関数とL-不変量についての研究をマギル大学のJeehoon Park氏とカリフォルニア大学バークレー校のChung Pang Mok氏と共同で行った.p進BSD予想によって,楕円曲線が素数pで分裂乗法的還元を持つ場合,p進L関数の中心点での一階微分値は楕円曲線から定まる数論的普遍量を用いて記述されることが期待されるが,通常のBSD予想との比較から,その一階微分値はp進周期の一種であるL-不変量と通常のL関数の中心値を実周期で割った値との積になることが予想される.この予想は例外的零点予想と呼ばれている.この予想は楕円保型形式に対しても一般化されており,Hilbert保型形式の場合に従来の結果を拡張することが重要な問題として挙げられる.今回の研究では,まず初めのステップとしてTeitelbaumによって与えられたL-不変量の定義をHilbert保型形式の場合に一般化することから始めた.TeitelbaumはJacquet-Langlands対応及び志村曲線のp進一意化の理論を用いてL-不変量を定義しており,それを一般化するためにはSchneider, de Shalitなどにより研究されたrigid解析的保型形式やharmonic cocycle, Colemanによる線積分の理論などp進解析を用いた様々な概念をHilbert保型形式の場合に一般化し,従来知られていた結果を拡張する必要がある.今年度は特にrigid解析的保型形式の研究を中心的に行い,今回新たに導入したvector値のrigid解析的保型形式の理論を用いることで楕円保型形式の場合に知られていた結果を一般化するこどに成功した.さらにその結果を用いることでHilbert modular群のcohomologyにHilbert保型形式から定まるコサイクルを二つ構成し,比較することでTeitelbaumによるL-不変量の定義を一般化することができた.今回定式化したL-不変量は実際にpで分裂乗法的な還元を持つ総実代数体上の楕円曲線に対するL-不変量の一般化を与えていることが確認できる。ここで用いられたvector値のrigid解析的保型形式の概念は楕円保型形式の場合のL-不変量を定義する際には現れなかったものであり,その点が従来の手法と大きく異なる.

今年，我们将与麦吉尔大学的 Jeehoon Park 和加州大学伯克利分校的 Chung Pang 一起研究与希尔伯特自同构相关的 p-adic L 函数和 L-不变量。根据 p 进 BSD 猜想，如果椭圆曲线具有素数 p 的除法乘法约简，则 p 进 L 函数中心点的一阶导数是由椭圆曲线确定的算术通用。使用数量来描述，通常的 BSD 预测通过与概念的比较，可以预测一阶导数值是 L-不变量（p-adic 周期的一种）与普通 L 函数的中心值除以这个猜想被称为例外零点猜想，对于椭圆形也是通用的。一个重要的问题是在希尔伯特自同构形式的情况下扩展常规结果。在本研究中，作为第一步，我们使用Teitelbaum给出的L-不变量的定义作为希尔伯特自同构形式。我们首先推广自同构形式的情况，使用 Jacquet-Langlands 对应和 Shimura 曲线的 p-adic 统一理论定义了 L-不变量，为了推广它，Schneider， de Shalit 等人研究的刚性解析自同构形式和调和余循环。有必要使用p进分析（例如科尔曼的线积分理论）将各种概念推广到希尔伯特自同构形式的情况，并通过使用新引入的向量值刚性解析自同构形式的理论来扩展先前已知的结果。 ，我们成功地推广了椭圆自守形式的已知结果，此外，通过使用这些结果，希尔伯特。通过构造由模群上同调中的希尔伯特自同构形式确定的两个余循环并进行比较，我们能够推广 Teitelbaum 对 L-不变量的定义。这次制定的 L-不变量实际上可以证实，给出了椭圆曲线的 L 不变量在整个实代数域上的推广，其中 p 具有除法乘法约简。这里使用的向量值的刚性解析自同构的概念在定义椭圆自同构形式的L-不变量时并没有出现，这一点与常规方法有显着不同。

项目成果

Heegner cycles and the central value of L-functions for modular forms

Heegner 循环和模形式 L 函数的中心值

• 发表时间: 2009
• 作者: 山本哲史;曽田貞滋;千田雅隆;千田雅隆;Masataka Chida;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆
• 通讯作者: 千田雅隆

保型形式に付随するp進L関数

与自守形式相关的 p 进 L 函数

• 发表时间: 2009
• 作者: 山本哲史;曽田貞滋;千田雅隆;千田雅隆;Masataka Chida;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆
• 通讯作者: 千田雅隆

Introduction to Gross-Zagier formula

Gross-Zagier 公式简介

• 发表时间: 2010
• 期刊: Heegner poit と Gross-Zagier 公式の勉強会報告集
• 作者: 山本哲史;曽田貞滋;千田雅隆
• 通讯作者: 千田雅隆

保型形式のL関数と Selmer 群について

关于自守 L 函数和 Selmer 群

• 发表时间: 2008
• 作者: 山本哲史;曽田貞滋;千田雅隆;千田雅隆;Masataka Chida;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆
• 通讯作者: 千田雅隆

Heegner cycles and central values of L-functions

Heegner 循环和 L 函数的中心值

• 发表时间: 2008
• 作者: 山本哲史;曽田貞滋;千田雅隆;千田雅隆;Masataka Chida;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆;千田雅隆
• 通讯作者: 千田雅隆