固有正則写像に関するgap現象の幾何学的解明

与本征全纯映射相关的间隙现象的几何解释

• 批准号: 17K05308
• 负责人: 林本 厚志
• 金额: $ 2.91万
• 依托单位: Nagano National College of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17K05308/
• 关键词: Gap定理; 固有正則写像; 複素擬楕円体; 古典型領域; Cartan-Hartogs領域; Hua領域; Cartan－Hartogs領域; 一般複素擬楕円; CRベクトル場; gap定理; 関数論; 解析学; 幾何学

研究代表者の以前の論文で次の定理が示された。「次元の異なる複素擬楕円体の間に固有正則写像が存在し、それは境界を越えて正則的に定義域を拡張できると仮定する。次元及び複素擬楕円体の定義関数に現れるブロックの個数にある制限を付ける。このとき任意の固有正則写像は、定義域と値域の自己同型群の差を省いて分類することができる。」この定理は、球の間の固有正則写像に関するGap定理を複素擬楕円体に拡張したものであった。この定理で「固有正則写像を正則写像として、境界を越えて手擬息を拡張できる」という仮定を省くことができるか否かを調べることが目標であった。そのためには球の場合に、そのようなことができるかを調べ、その内容を詳細に検討する必要がある。それを行うことが本年度の計画であった。GlobevnikやForstnericの論文にその内容が出ているため、それを詳細に検討した。その結果、いくつかの内容について球の場合を複素擬楕円体に拡張できるのではないか、という予想を立てることができた。具体的には調和関数に関するディリクレ問題を使うことにより、連続写像として定義域を拡張できるが、微分可能な写像としては定義気を拡張できない例があるのではないか、という予想である。まず、ある条件を満たす写像からスタートする。それに対してある種のピーク関数を少しずつ写像の各成分に加えて、その極限を取ることにより可微分写像として拡張できない例を作るのである。

主要研究者在之前的论文中提出了以下定理。 “假设不同维度的复杂伪椭球之间存在本征全纯映射，并且域可以全纯扩展到边界之外，并对边界施加一定的限制。那么任何真全纯映射都可以通过忽略域和范围的自同构群之间的差异来分类。”这个定理将关于球体之间的真全纯映射的间隙定理转换为复杂的伪椭球。我的目标是研究这个定理是否允许我们省略这样的假设：“如果正确的全纯映射是全纯映射，我们可以将手提纲扩展到其边界之外。”为此，有必要调查在球的情况下是否可能发生这种情况，并详细检查其内容。今年的计划就是这样做。这项研究的内容发表在 Globevnik 和 Forstneric 的论文中，所以我详细研究了它们。因此，我们能够预测对于某些内容，球体情况可以扩展到复杂的伪椭球体。具体地，通过使用关于调和函数的狄利克雷问题，可以将域扩展为连续映射，但是推测可能存在不能将定义扩展为可微映射的情况。首先，我们从满足特定条件的映射开始。相反，通过一点一点地向映射的每个分量添加某个峰值函数并取其极限，我们创建了一个无法扩展为可微映射的示例。