冪乗法則型流体の初期値境界値問題と自由境界問題の解析

幂律流体初值边值问题和自由边界问题分析

基本信息

批准号：
11J07115
负责人：
寺澤祐高
金额：
$ 1.02万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2013
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は、マルチンゲールの枠組みでの調和解析の研究と、幕乗法則型流体の二層流体問題の拡散界面モデルを記述する方程式の解の存在に関して研究を行った。マルチンゲールの枠組みでの調和解析の研究においては、正作用素と極大作用素に関して重み付き$p$乗可積分空間における有界性の研究を行った。分数積分作用素は正の核を持つ積分作用素であるが、それの二進格子を用いた離散化により、二進正作用素が得られる。Kerman-Sawer('86),Cascante-Ortega-Verbitsky('04, '06)の結果においては、二進正作用素に関する重み付きの評価からユークリッド空間における正作用素の有界性の評価を導いている。本研究においては、これらの結果をマルチンゲールの枠組みに一般化した。$\sigma$-有限の測度空間において、$\sigma$-有限の$\siglna$-代数からなるフィルトレーションが与えられた状況において、条件付き期待値を用いて、正作用素を定義し、それの重み付き有界性を調べた。また、Doobの極大作用素の重み付き評価に関する研究も行った。これらの結果は、研究の目的に挙げた幕乗法則型方程式の線形化方程式の最大正則性、より一般に放物型方程式の最大正則性と理論的な関連があると考えられ、実際、その理論のより深い理解を試みる過程でこの研究がなされた。また、幕乗法則型流体の二層流体問題の拡散界面モデルに関して、弱解の存在に関して研究を行った。先行する研究として、幕乗法則型流体方程式の弱解を幕が低い範囲で構成する仕事があり、その仕事で用いられたリプシッツ切断の手法を用いて、弱解を構成した。リプシッツ切断は、ソボレフ函数の列をリプシッツ函数で近似する方法であり、非線形項を軟化した、近似方程式の解からもとの方程式の弱解を得る際に用いられる。

今年，我们在Martingale框架中进行了关于谐波分析的研究，并存在描述Kuchi-Law-law-type流体双层流体问题的扩散界面模型的方程解决方案。在Martingale框架中的谐波分析研究中，我们研究了加权$ P $ POWER -POWER -POWER -POWER -POWER -POWER -ENCENTABLE SPACE的正面和最大运营商。分数积分运算符是具有正核的积分运算符，但是使用二进制晶格的离散化为二元阳性操作员提供了离散化。克尔曼 - 苏纳（'86）和卡斯坎特 - 奥特加·维比茨基（'04，'06）的结果得出了对欧几里得空间中阳性算子的界限的评估，这些评估是通过对二进制阳性运算符的加权评估来评估。在这项研究中，这些结果被推广到Martingale框架。在$ \ sigma $ -finite度量空间中，给定$ \ sigma $ -finite $ \ siglna $ -algebra的过滤，使用有条件的期望值来定义正面操作员并检查其加权界限。我们还对DOOB最大运营商的加权评估进行了研究。这些结果被认为是Kuruka管道方程的线性化方程的最大规律性的理论关系，这被称为研究的目的，更普遍地说是抛物线方程的最大规律性，实际上，这项研究是在试图获得对理论深入了解的过程中进行的。此外，我们已经研究了有关makuchi-law型流体双层流体问题的扩散界面模型的弱解决方案的研究。先前的研究涉及在低范围内为Makuchi-Law类型流体方程式构建弱解决方案，并使用该工作中使用的Lipschitz切割技术构建了弱解决方案。 Lipschitz切割是一种用Lipschitz函数近似Sobolev函数序列的方法，并用于从溶液到近似方程的原始方程式获得弱的解决方案，从而软化了非线性项。