Extension of almost periodic functions and the distribution of zeros

几乎周期函数的扩展和零点分布

• 批准号: 10640180
• 负责人: TANAKA Junichi
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1998
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1998 至 2001
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10640180/
• 关键词: Dirichlet series; Alomost periodic functions; Riemann ζ-function; Hardy spaces; Distribution of zeros; Mean-value theorems; Riemaunゼータ関数; 単一生成元問題; 零点密度理論; Riemannのζ関数; Bohr群; エルゴード理論

Using the ergodic theory and the theory of function algebras, we investigate the property of Dirichlet series by regarding as analytic functions on Bohr group. In connection with analytic number theory, we especially restrict our attention to the case of the Riemann ζ-function and obtain a mean-value theorem in a weak sense and some results on value distribution of ζ-function.Let K be the dual group of the discrete group {log γ ; γ positive rational}. Then a one-parameter group {T_t}_<t∈R> of homeomorphisms of K is defined naturally. Fix 1/2 < u and putZ_u(x) = Σ^^∞___<n=1>(1)/(n^u)x_<log n>^(x), x∈K,where x_<log n> denotes the character by log n. Then t → Z_u(T_tO) represents ζ(u+it), and Z_u(x) is an outer function of H^2(K). Since (K, {T_t}_<t∈R>) is an ergodic flow, we have the following mean-value theorem of the Riemann ζ-function : Theorem Let 0 < k < ∞, and let l > 0. Then there is a subset J of Z^+ of density zero such that<lim>___<J【∋!/】N→∞>(1)/(Nl)Σ^^^<N-1>___<n=0>∫^^^<(n+1)l>___<nl>|ζ(u+it)|^<2k>dt=∫_K|Z_u(x)|^<2k>dσ(x). This theorem shows that Lindelof hypothesis holds in a weak sense. We also study the class of all Dirichlet series t → Z_u(T_t x) with Euler products. This enables us to understand the peculiarity of the Riemann ζ-function.

利用遍历理论和函数代数理论，我们将狄利克雷级数视为玻尔群上的解析函数来研究其性质。结合解析数论，我们特别将注意力集中在黎曼 z 函数的情况上，并得到一个弱意义上的中值定理以及关于 z-函数值分布的一些结果。设 K 为离散群 {log γ ; γ 正有理数} 的对偶群。 K 的同态 {T_t}_<t∈R> 自然定义为 Fix 1/2 < u 和 putZ_u(x) = Σ^^∞___<n=1>(1)/(n^u)x_< log n>^(x), x∈K，其中 x_<log n> 表示 log n 的字符，则 t → Z_u(T_tO) 表示 ζ(u+it)，并且Z_u(x) 是 H^2(K) 的外函数。由于 (K, {T_t}_<t∈R>) 是遍历流，因此我们有以下黎曼 z 函数的中值定理：定理 令 0 < k < ∞，且令 l > 0。则存在密度为零的 Z^+ 的子集 J，这样即<lim>___<J【∋!/】N→∞>(1)/(Nl)Σ^^^<N-1>___<n=0>∫^^^<(n+1)l> ___<nl>|ze(u+it)|^<2k>dt=∫_K|Z_u(x)|^<2k>dσ(x) 该定理表明 Lindelof 假设成立。我们还用欧拉积来研究所有狄利克雷级数 t → Z_u(T_t x) 的类，这使我们能够理解黎曼 ζ 函数的特殊性。

项目成果

J. Tanaka: "Extension of almost periodic functions and analyticity on flows"Amer. Math. Soc. Transl. (2), 204. 63-80 (2001)

J. Tanaka：“几乎周期函数的扩展和流动的分析性”Amer。

H.Helson, J.Tanaka: "Singular cocycles and the generator problem"Proceeding of Operator Theory Conference. 17. 173-186 (2000)

H.Helson、J.Tanaka：“奇异余循环和生成器问题”算子理论会议论文集。

J.Tanaka: "Extension of almost periodic functions and analyticity"Amer.Math.Soc.Transl.Sugaku.. (近刊). (2001)

J.Tanaka：“几乎周期函数的扩展和分析性”Amer.Math.Soc.Transl.Sugaku..（即将出版）。

J.Tanaka: "The Riemann Zeta-function and ergodic Haedy spaces"(近刊).

J. Tanaka：“黎曼 Zeta 函数和遍历 Haedy 空间”（即将出版）。

J.Tanaka: "Extension of almost periodic functions and aualyticity on flows."Sugaku Expositions of Amer.Math.Soc.. (近刊). (2000)

J.Tanaka：“几乎周期函数的扩展和流的真实性。”Amer.Math.Soc 的 Sugaku Expositions.（即将出版）。