3,4次元多様体の不変量のゲージ理論による研究

使用 3 维和 4 维流形不变量规范理论进行研究

• 批准号: 06740046
• 负责人: 太田 啓史
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740046/
• 关键词: 4次元多様体; 3次元多様体; ゲージ理論; 反自己双対接続; Casson不変量; スピン構造

4次元多様体X上のSU_2束の反自己双対接続のモジュライ空間Mのスピン構造については、概複素構造を持つ場合いくつかの付帯条件のもとで存在を示していたが、その付帯条件は除けることがわかった。これは指数束の切除性質を用いることでわかる。一般の、概複素構造を持たない場合は、概複素構造の存在に関する古典的なWuの定理とやはり指数束の切除性質を使うことにより、ω_2(M)=(1-b_1(X)+b^+_2(X))ω_2(β)になること(ここでβは基点SO_3ファイブレイションでそのω_2はXのスピン構造とSU_2束のc_2で分かる)が予想され、その証明の細部を埋めるところにきている。これよりモジュライ空間にスピン構造が存在する為の必要十分条件が完全にわかることになる。またモジュライ空間の指数を用いて定義した、ホモロジー3球面の不変量τとCasson不変量との関係は未だに謎であるが、反自己双対方程式を摂動したモジュライと摂動しないモジュライの間のコボルディズムを作り、摂動しないモジュライを解析することにより、Casson不変量との関係がつくのではないかと考えている。最近現れたSeiberg-Witten理論との関係も興味深い。M×S^1の場合にSeiberg-Witten解をもとめると、それは自明なものしかない。これは、ホモロジー球面の基本群のU(1)表現は自明なものしかないことに対応し、これではSU_2とモジュライ空間の非コンパクト性をあらわに使った我々の不変量を、Seiberg-Witten理論で、少なくとも直接的な方法では、捕まえることはできないと思われる。Seiberg-Witten理論はb_1(X)=0あるいは単連結の場合にはKronheimer-Mrowkaの構造定理をよく捉えているが、b_1(X)=0であるが、単連結でない場合に基本群の情報を捉えていないということを、我々の不変量は示唆しているように思われる。尚、Seiberg-Witten方程式の解のモジュライのスピン構造は応用上も重要である。

4维流形X上SU_2丛的反自对偶连接的模空间M的自旋结构已被证明在一些附加条件下存在，当它具有近似复杂的结构时我发现它可以。被删除。这可以通过使用指数丛的切除性质看出。在一般不存在近似复结构的情况下，利用经典吴氏近似复结构存在性定理和指数丛的割性，可得 ω_2(M)=(1-b_1(X)+ b^+_2(X))预计 ω_2(β) （其中 β 是基本 SO_3 纤维化，ω_2 可以从 SU_2 束的 X 和 c_2 的自旋结构中找到），现在我们正在填写证明的细节。由此，我们完全可以理解模空间中自旋结构存在的充要条件。此外，使用模空间索引定义的同调 3 球面的不变量 τ 与 Casson 不变量之间的关系仍然是一个谜，但我们可以在扰乱反自对偶方程的模数与不扰动它的模，我认为通过分析未扰动的模，我们可以找到与卡森不变量的关系。与最近出现的塞伯格-维滕理论的关系也很有趣。在 M×S^1 的情况下搜索 Seiberg-Witten 解时，这只是微不足道的。这对应于同调域的基本群只有一个平凡的 U(1) 表示这一事实，这意味着我们的不变量（明确使用 SU_2 和模空间的非紧性）可以使用 Seiberg 来表示-威滕理论。而且似乎不可能捕捉到它，至少不能以直接的方式捕捉到它。当 b_1(X)=0 或单连通时，Seiberg-Witten 理论很好地捕捉了 Kronheimer-Mrowka 结构定理，但是当 b_1(X)=0 但不单连通时，基本群信息是 我们的不变量似乎表明我们不捕获Seiberg-Witten 方程解的模量的自旋结构对于应用也很重要。