深谷圏と完全WKB解析

深谷球和完整的 WKB 分析

基本信息

批准号：
21K18576
负责人：
太田啓史
金额：
$ 4.16万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-07-09 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-21K18576/
关键词：
シンプレクティック幾何 Floer理論深谷圏 WKB解析 Stokes現象量子コホモロジー

项目摘要

研究代表者とその共同研究者たち執筆によるリサーチモノグラフ`Kuranishi structures and virtual fundamental chains' (Springer-Nature，2020年)において導入した「線形Kシステム」を、一般的なMorse-Bottの仮定の下で、シンプレクティック多様体上の周期的Hamilton系に関するFloer方程式の解のモジュライ空間を用いて幾何学的に実現し、かつその不変性と比較定理を証明した。これによりMorse-Bottの仮定の下で、Hamilton方程式の周期解の個数に関するBetti数版Arnold予想が従う。レフェリーとのやりとりを経て、この論文が無事C. Viterbo氏の60歳Festchrift volumeに掲載された。このことは当該研究コミュニティにとって大きな意味をもつと考えられる。以上、深谷賢治氏（米国 Simons Center for Geometry and Physics）、Yong-Geun Oh氏（韓国 Institute for Basic Science, Center for Geometry and Physics ）、小野薫氏（京都大学数理解析研究所）と研究代表者との共同研究である。また、研究分担者は、あるクラスのスペクトル曲線に対し、位相的漸化式が定める分配函数や量子曲線のVoros係数と、スペクトラル・ネットワークが定めるBPS構造との関係を調べた。特に、BPS構造のタウ函数と位相的漸化式の分配函数のBorel和が本質的に一致することを示したことが主結果である。これらの成果は、今後深谷圏の解析的研究を深める上で重要な知見を与えると期待される。さらに、Stokes曲線とFloer理論との関係に着目し、萌芽的な考察と議論を研究分担者の間で共有することができた。

首席研究员及其同事撰写的研究专着《Kuranishi 结构和虚拟基本链》（Springer-Nature，2020）中介绍的“线性 K 系统”基于一般 Morse-Bott 假设。本文利用辛流形上周期哈密顿系统Floer方程解的模空间在几何上实现了这一点，并证明了其不变性和比较定理。因此，在 Morse-Bott 假设下，关于哈密顿方程周期解数的阿诺德猜想的贝蒂数版本如下。经过与审稿人的一番互动，这篇论文成功发表在 C. Viterbo 先生拥有 60 年历史的 Festchrift 卷中。这被认为对于有关研究界具有重要意义。 Kenji Fukaya 先生（美国西蒙斯几何与物理中心）、Yong-Geun Oh 先生（韩国基础科学研究所几何与物理中心）、Kaoru Ono 先生（京都大学数学分析研究所）和这是一项联合研究。此外，针对某一类谱曲线，研究人员研究了拓扑递推公式确定的分布函数与量子曲线的Voros系数之间的关系，以及谱网络确定的BPS结构。特别是，主要结果是BPS结构的Tau函数与拓扑递推公式的配分函数的Borel和基本匹配。这些结果有望为未来深化深谷球体的分析研究提供重要知识。此外，我们还重点关注了斯托克斯曲线和弗洛尔理论之间的关系，并能够在我们的共同研究人员之间分享探索性的考虑和讨论。