スカラー曲率が正の山辺計量の収束・退化の研究

正标量曲率Yamabe度量的收敛与退化研究

基本信息

批准号：
06854003
负责人：
芥川一雄
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Shizuoka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06854003/
关键词：
山辺計量スカラー曲率低次元多様体調和座標

项目摘要

当科学研究課題の目的は、スカラー曲率が正の山辺計量の収束・退化の解析とその低次元多様体への応用であった。具体的研究成果は下記の通りである。(1)山辺不変量正かつ体積1の山辺計量を持つn次元多様体の族Y(n)を考え、さらにある種の曲率積分有界の条件下で、収束・退化に関する成果を得た。これは、"11.研究発表の3番目の論文"の主結果の一般化である。(2)山辺計量の族Y(n)を考え、(1)とは別のタイプの種々の曲率積分有界の条件下で、それらのコンパクト性定理や正の定曲率計量に対するピンチング定理を得た。特に新しいタイプの定理としては、3次元閉多様体上の平坦な共形構造に対するピンチング定理を得た。以上(1)、(2)の研究成果は、次の論文にまとめており現在投稿中である。"K.Akutagawa,Convergence for Yamabe metrics of positive scalar curvature with integral bounds on curvature."またこれらの研究過程において、スカラー曲率が正の山辺計量は、トポロジーへの応用上、3次元の場合が特に有用でありかつ幾つかの予想問題が自然に提出されることがわかった。4次元の場合においても、反自己双対共形構造に対象を制限すれば、山辺計量の収束・退化の研究はそのモデュライ空間の研究に有用である(この場合には、山辺不変量の符号の条件は不必要となる)。実際"Sobolev半径"と言う概念が導入でき、それを物差しとして、反自己双対的山辺計量の収束・退化の解析はある程度可能であることもわかった。この対象においては具体例が豊富で、今後の研究は反自己双対的山辺計量の収束・退化の研究を中心に進める予定である。上記の研究において、研究費補助金による研究連絡は極めて重要であった。

该科研项目的目的是分析具有正标量曲率的 Yamabe 度量的收敛性和简并性及其在低维流形中的应用。具体研究结果如下。 (1) 我们考虑了一族具有正 Yamabe 不变量和体积为 1 的 Yamabe 度量的 n 维流形 Y(n)，并获得了在有界曲率积分的某些条件下收敛性和简并性的结果。这是对“11.第三篇研究报告”主要结果的概括。 (2)考虑Yamabe度量族Y(n)，我们得到了与(1)不同类型的有界曲率积分条件下的紧致性定理和正常曲率度量的收缩定理。特别是，作为一种新型定理，我们得到了三维闭流形上平坦共角结构的箍缩定理。上述(1)和(2)的研究成果总结在以下论文中，目前正在提交。 “K.Akutakawa，正标量曲率的 Yamabe 度量与曲率积分界限的收敛性。”此外，在这些研究过程中，我们发现具有正标量曲率的 Yamabe 度量在应用于拓扑的三维情况中特别有用。自然地提出了一些预期的问题。即使在 4 维情况下，如果我们将对象限制为反自对偶共形结构，研究 Yamabe 度量的收敛性和简并性对于研究其模空间（在这种情况下，Yamabe 不变量的符号）也是有用的条件变得不必要）。事实上，我们能够引入“Sobolev半径”的概念，并发现在一定程度上可以用它作为尺度来分析反自对偶Yamabe度量的收敛性和退化性。这个课题有很多具体的例子，未来的研究将集中于反自对偶 Yamabe 度量的收敛和退化的研究。在上述研究中，通过研究资助进行的研究交流极其重要。