調和写像とその周辺に関する微分幾何学

关于调和映射及其周围环境的微分几何

• 批准号: 04J10824
• 负责人: 中田 文憲
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2004
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2004 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-04J10824/
• 关键词: 微分幾何学; 擬リーマン幾何; ツイスター理論; 調和写像; 数理科学; 微分幾何

符号(2,2)の不定値計量に関する自己双対計量および自己双対接続に関する研究を行った。その中で、昨年中になされたLeBrunとMasonの仕事を受けて、これまでの研究との関連などを調べた。LeBrunらの仕事は具体的には、Zollfreiと呼ばれる特殊な性質を持つ自己双対計量に関して、その分類やツイスター理論を展開するというものであり、私がこれまで扱っていた研究対象に、より深い視点を与えるものであった。この理論を研究する中で、私は特異性をもっているがツイスター対応が記述できる例を構成することに成功した。この例は、Peteanによって与えられたトーラス上の自己双対計量をうまく組み合わせたもので、そのツイスター対応はRandon変換を用いて完全に記述される。現在この例については論文にまとめている段階である。なお、この例の構成法は、Zoll構造とよばれるより低次元の構造を利用するものであり、この方法を高次元のプロセスとして利用すれば、一連の理論の新しい一般化の方法として利用できる可能性もあると考えられる。一方でやはり昨年中に、Masonによって不定値自己双対接続とそのツイスター対応に関する論文も提出されており、こちらでは可積分系の理論との関係が強く指摘されている。これに関しては新しい仕事をすることはできなかったが、Masonの理論では、まだ平坦な自己双対多様対上の理論しか扱っていないため、上記の自己双対計量の理論と組み合わせて、さらに深い理論に発展する可能性があると考えている。ツイスター理論を、ファイバーを複素射影直線からトーラスなどに換える新たな一般化の方向性についても、現状としてはその理論を打ち立てることができなかったが、LeBrunはツイスター空間の一般化の可能性として、複素射影直線を別のリーマン面に置き換える案を提示しており、もしこれが可能となれば、その先には非常に多くの可能性が広がっていると考えられ、今後も引き続き研究していくべき課題であると考える。

对无限期指标的自偶联指标和自偶连接的研究进行了研究（2,2）。其中，我调查了去年进行的Lebrun和Mason的工作与其他问题之间的关系。具体而言，Lebrun等人的工作是开发有关自偶像指标的分类和扭曲理论，这些指标具有称为Zollfrei的特殊性质，这使我对我所处理的研究主题有了更深入的看法。在研究这一理论时，我成功地构建了一个具有特殊性但可以描述扭曲对应的示例。这个示例结合了Petean给出的圆环上的自偶像指标，其双重信函使用Randon Transformation充分描述。目前，该示例正在汇总。此外，此示例中的构建方法比Zoll结构使用较低的维度结构，如果将此方法用作较高维度的过程，则认为可以将其用作一组理论的新概括方法。另一方面，去年，梅森还提交了一篇关于无限期的自偶联连接及其与扭转者的对应的论文，并且已经强烈指出了与综合系统理论的关系。尽管他无法对此做新的工作，但梅森的理论仍然只处理平坦的自动乘数对理论，他认为与上述自我划指标理论结合使用，它可以发展成更深层次的理论。至于当前情况，不可能建立一个新的概括方向，将旋风理论从复杂的投影线替换为圆环等，但是勒布朗提出了一项计划，将其替换为用另一个Riemann表面替换复杂的投影线，以便将Twister空间泛化。如果可能的话，人们认为除此之外还有很多可能性，这是一个将来应该继续研究的问题。