複素射影直線の直積内の極小ラグランジュ閉曲面のハミルトン安定性及びタイト性の研究

复射影线直积内最小拉格朗日闭曲面的哈密顿稳定性和紧性研究

基本信息

批准号：
03J08889
负责人：
入江博
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Tokyo Metropolitan University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究課題について、本年度に得られた最も重要な成果として、複素射影直線の直積内の大円の積として現れる全測地的なラグランジュトーラスが大域的にハミルトン安定(すべてのハミルトンイソトピーの下で体積が最小であること)となることを証明することに成功したことが挙げられる。研究計画では、この研究は来年度に行う予定であったが、都立大の酒井高司氏、小野肇氏の協力により、証明に必要な積分幾何の公式が得られたため解決に至った。この研究成果は、日本学士院紀要に掲載されている。この現象は1990年にKleinerとOhにより複素射影空間内の実射影空間の場合に解決されたのが唯一の例であったので、今回の結果は十数年ぶりの貴重な進展であると考えている。今後、この例を含むより広いクラスの極小ラグランジュ部分多様体の大域的ハミルトン安定性の証明へ向けて研究を進める予定である。また、ケーラー多様体内の極小ラグランジュ部分多様体のハミルトン安定性の理論を接触多様体に拡張する過程で、複素ユークリッド空間のハミルトン極小なラグランジュ錐に関する研究が進展した。2次元の場合には、SchoenとWolfsonにより、ハミルトン極小ラグランジュ錐が分類され、それらのハミルトン安定性も完全に分かっていた。そこで筆者は、3次元の場合の研究を開始し、平坦なトーラスをリンクに持つハミルトン極小ラグランジュ錐の3パラメータ族を構成し、その中にハミルトン不安定なものが無限個存在することを証明した。この研究成果は、Tokyo Journal of Mathematicsに掲載予定である。

关于这个研究课题，今年获得的最重要的成果是，全测地线拉格朗日环面，作为复射影线的直积中的大圆的乘积，是全局哈密顿稳定的（在所有哈密顿同位素下）。例子是我们成功证明了体积是最小的。按照研究计划，这项研究原定于明年进行，但由于东京都立大学的Takashi Sakai和Hajime Ono的合作，问题得到了解决，因为获得了证明所需的积分几何公式。这项研究的结果发表在日本学士院学报上。这种现象的唯一例子是 Kleiner 和 Oh 于 1990 年在复杂射影空间内的实射影空间的情况下解决的，因此这一结果被认为是十多年来的第一次有价值的发展。将来，我们计划继续研究证明更广泛的最小拉格朗日子流形的全局哈密顿稳定性，包括这个例子。此外，在将凯勒流形内最小拉格朗日子流形的哈密顿稳定性理论推广到接触流形的过程中，复欧几里得空间中哈密顿最小拉格朗日锥的研究也取得了进展。在二维情况下，Schoen 和 Wolfson 对哈密顿最小拉格朗日锥进行了分类，并且它们的哈密顿稳定性也是完全已知的。因此，作者开始对三维情况进行研究，构造了一个以平坦环面为纽带的三参数哈密顿最小拉格朗日锥族，并证明了该族中存在无限多个哈密顿不稳定物体。这项研究的结果将发表在《东京数学杂志》上。