積分幾何学による変分問題:ラグランジュ部分多様体のハミルトン体積最小性

积分几何的变分问题：拉格朗日子流形的哈密顿体积极小性

基本信息

批准号：
17740040
负责人：
酒井高司
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Osaka City University (2006-2007)Tokyo Metropolitan University (2005)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2005
资助国家：
日本
起止时间：
2005 至 2007
项目状态：
已结题

项目摘要

体積汎関数の停留点となる部分多様体は極小部分多様体と呼ばれ,幾何学の分野において重要な研究対象となっている。特に,キャリブレート部分多様体は体積最小となる部分多様体として重要である。例えば,Calabi-Yau多様体内の特殊Lagrange部分多様体はキャリブレート部分多様体であり,現在,ミラー対称性に関連して注目されている。本研究課題では積分幾何学やコンパクトLie群の表現論を基に部分多様体の幾何学的変分問題の研究に取り組んだ。Riemann対称対の線形イソトロピー表現の軌道は球面内の重要な等質部分多様体の例を与える。井川治(福島高専)、田崎博之(筑波大学)との共同研究によって,Riemann対称対の線形イソトロピー表現の軌道で球面内のaustere部分多様体と呼ばれる極小部分多様体になるものを分類した。また,各点の各法ベクトルに対して鏡映を持つ極小部分多様体として弱鏡映部分多様体の概念を与え,超球面内の弱鏡映部分多様体になる軌道もすべて決定した。さらに,Gauss写像が退化する軌道を分類し,そのような軌道は全て球面内の弱鏡映部分多様体となることがわかった。球面内の部分多様体のGauss写像の退化性についてはFerusの不等式と呼ばれる退化次数の評価式が知られている。我々の分類したGauss写像が退化する軌道によって,Ferusの不等式の等号を満たす新しい部分多様体の例を数多く与えることができる。弱鏡映部分多様体は大域的な対称性から極小性が導出される。弱鏡映部分多様体の概念は極小部分多様体の今後の研究に役立つであろう。Austere部分多様体の概念は特殊Lagrange部分多様体を構成するためにHarvey-Lawsonによって導入された。我々の分類した球面内のaustere軌道からC^n内などの多くの特殊Lagrange部分多様体の具体例が得られる。今後はこれらの特殊Lagrange部分多様体の研究への発展が期待される。

停止的体积功能的亚曼膜称为最小值亚曼叶，并且是几何领域研究的重要主题。特别是，校准的亚策略很重要，因为亚曼膜的体积很小。例如，卡拉比（Calabi-Yau）歧管中的特殊Lagrange submanifolds是经过校准的子手机，目前正在引起有关镜面对称性的关注。该研究主题的重点是研究基于整体几何形状和紧凑型谎言基团的表达理论的几何变异问题的研究。 Riemann对称对的线性各向同性表示的轨道提供了球体内重要同质亚策略的示例。与Igawa Osamu（福岛国家技术学院）和Tazaki Hiroyuki（Tsukuba大学）合作，我们对Riemann对称对的线性各向同性表达式的轨道进行了分类，这些轨道变成了最小的Submanifolds在Spherical sepherical sepherical Plane中称为Austere Submanifolds。此外，弱镜像的子手机的概念被作为一个最小镜像的子手机，每个点在每个点上为每个模态向量镜像，并且所有变为弱镜像的镜子中的轨道都确定了超晶体中的镜像。此外，我们对高斯映射变性的轨迹进行了分类，并发现所有这些轨道都是球体内部较弱的镜像的子手机。已知submanifolds的高斯映射的退化性质是已知的，而退化顺序的评估方程称为Ferus不平等。我们机密的高斯映射变性的轨道可以提供许多满足Ferus不平等平等的新submanifolds的例子。弱镜像子曼叶的最小性源自全局对称性。虚弱的镜像子延伸物的概念将对以后对最小亚曼叶的研究有用。 Harvey-Lawson引入了Austere Submanifolds的概念，以构建特殊的Lagrange Submanifolds。我们从分类球体内的严峻轨道中获取许多特殊的Lagrange子手机（例如C^n）的示例。希望将来，它将被发展为对这些特殊的Lagrange子曼群的研究。