対称空間の一般化およびその極地と対蹠集合の幾何学的研究

对称空间的推广及其极集和对映集的几何研究

基本信息

批准号：
21K03250
负责人：
酒井高司
金额：
$ 2.41万
依托单位：
Tokyo Metropolitan University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03250/
关键词：
対称空間等質空間対蹠集合

项目摘要

調和写像の一般化として，二重調和写像に関する研究が近年盛んに進められている．我々は，擬Riemann多様体間の写像に対して，第二基本形式の不変関数から積分不変量を導入し，それらを汎関数とした変分問題について研究を行った．第二基本形式の2次同次不変多項式から，二重エネルギー汎関数を含む積分不変量の族を考え，それらの第一変分公式を導出した．このとき，第二基本形式の2階共変微分として与えられる(0,4)型テンソル場の縮約を用いることで，これら2次の積分不変量に関するEuler-Lagrange方程式を統一的に表した．第二基本形式の2次同次不変多項式全体のなす空間は，第二基本形式の2乗ノルムおよびテンション場の2乗ノルムによって張られる．一般に2次同次不変多項式から定まる積分不変量のEuler-Lagrange方程式は4階の偏微分方程式になるが，その中でEuler-Lagrange方程式が2階の偏微分方程式に帰着されるものがスカラー倍の違いを除いて唯一つ存在することを示した．我々はこの積分不変量をChern-Federerエネルギー汎関数と名付け，Chern-Federerエネルギー汎関数の臨界点を与える写像をChern-Federer写像と呼んだ．さらに，Riemann多様体内の部分多様体で，包含写像がChern-Federer写像となるものとしてChern-Federer部分多様体の概念を導入した．我々は，Riemann空間形内の部分多様体がChern-Federerになるための必要十分条件を与え，Chern-Federer部分多様体の基本的な性質を調べ，具体例の構成を行った．特に，球面内の等質な等径超曲面の中でChern-Federer部分多様体になるものを決定した．これらの研究は，秋山梨佳（東京都立大学）および佐藤雄一郎（工学院大学）との共同研究による．

作为调和映射的推广，双调和映射的研究近年来一直在积极进展。我们从第二基本形式的不变量函数中引入了积分不变量，用于伪黎曼流形之间的映射，并使用它们作为泛函来研究变分问题。从第二基本形式的二阶齐次不变量多项式出发，我们考虑了包括对偶能量泛函在内的一族积分不变量，并推导了它们的一阶变分公式。此时，通过使用作为第二基本形式的二阶协变微分给出的(0,4)型张量场的约化，我们可以将关于这些二阶积分不变量的欧拉-拉格朗日方程表达为统一方式．．第二基本形式中的所有二次齐次不变多项式的空间由第二基本形式的平方范数和张力场的平方范数跨越。一般来说，由二阶齐次不变量多项式确定的积分不变欧拉-拉格朗日方程就变成了四阶偏微分方程，但其中，化简为二阶偏微分方程的欧拉-拉格朗日方程是结果表明，除了标量乘法之外，只有一处不同。我们将这个积分不变量命名为陈-费德勒能量泛函，并将给出陈-费德勒能量泛函临界点的映射称为陈-费德勒映射。此外，我们引入了陈-费德勒子流形的概念，作为黎曼流形内的子流形，其包含图是陈-费德勒图。给出了黎曼空间形式的子流形为陈-费德勒子流形的充要条件，研究了陈-费德勒子流形的基本性质，并构造了一个具体的算例。特别是，我们确定了球体内均匀等距超曲面之间的陈-费德勒子流形。这些研究是与 Rika Akiyama（东京都立大学）和 Yuichiro Sato（工学院大学）合作进行的。

项目成果

期刊论文数量（10）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

Riemann多様体間の写像の第二基本形式から定まる積分不変量に関する第一変分公式

由黎曼流形之间映射的第二基本形式确定的积分不变量的第一变分公式

DOI：
发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
0
作者：
Manabe Masahide;Terashima Seiji;Terashima Yuji;Takashi Sakai;豊田哲;門上晃久;Yuuji Tanaka;Yoshiyuki Ohyama and Migiwa Sakurai;Taizo KANENOBU;秋山梨佳，酒井高司，佐藤雄一郎
通讯作者：
秋山梨佳，酒井高司，佐藤雄一郎

対称空間の一般化と対蹠集合

对称空间和对映集的推广