複素時間特異点解析による渦層の渦巻解の存在と一意性の理論的・数値的研究

利用复时间奇异性分析对涡层中涡解的存在性和唯一性进行理论和数值研究

• 批准号: 14740069
• 负责人: 坂上 貴之
• 金额: $ 2.43万
• 依托单位: Hokkaido University (2003-2004)Nagoya University (2002)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740069/
• 关键词: 複素特異点解析; 渦層; 渦糸系; 力学系理論; 不安定周期軌道; 球面上の流れ; Blowup solutions; Vortex sheet; Flow on sphere; Singularity formation; Rolling-up spirals; Mathematical fluid dynamics; 渦運動の数理; 特異点; 複素時間解析; 解の一意性

昨年度は複素時間解析により平面渦層に現れる渦巻き解の意味づけを行ったが,今年度は球面渦層について同様の解析を行い,特異点解析によって得られた結果が系の領域の性質によらないものであることを確かめた。これをもって,本研究課題における当初の目的の大部分が達成されたと思われるが,年度の後半はこの解析からさらに一歩前進させて,渦層に現れる渦巻き解の長時間発展について取り組んだ。具体的には上の複素時間特異解析で扱った極に渦を持つ球面渦層の問題を考えた。その数値計算によれば曲率特異性が生成した後,複数の渦巻き構造が出現し,それらが同一緯線上に等間隔に並んだ配置をとることが示される。我々はその渦巻き構造の長時間発展を解析するため,各渦巻きに含まれる循環を一点渦糸に集中させたモデル(N点渦糸環モデル)を考え,極の渦の大きさの変更に伴って時間発展がどのように変遷するかを,力学系理論の応用により研究した。そこで得られた結果は以下の通りである。まずN点渦糸環の線形安定性解析を行い,線形化問題の固有値のみならず固有ベクトルもすべて陽的に与えることに成功した。この解析に基づいて渦糸の数が偶数の場合について,系を二次元に縮約する方法を提案し,その縮約モデルの厳密な解析から,不安定化した偶数渦糸環には極渦の強さに応じて4種類の周期軌道が存在すること,さらにその安定性は線形安定性解析で得られた二番目に大きい固有値の安定性によって決定されることを示した。本結果はPhysica Dに掲載済である。現在奇数個の場合の不安定渦糸環の長時間発展の研究にも成果が得られており,投稿準備中である。また,国際研究集会での講演を5回行うことができ,当該研究課題の進展に大きな寄与があった。

去年，我们使用复时间分析来赋予平面涡流层中出现的螺旋解的意义，但今年我们对球形涡流层进行了类似的分析，奇点分析获得的结果是由我确认系统的区域不存在。至此，似乎这个研究项目的大部分最初目标已经实现，但在下半年，我们在这个分析的基础上更进一步，致力于研究出现在中的涡旋解决方案的长期演化。涡流层。具体来说，我们考虑了极点处有涡旋的球形涡流层问题，该问题在上面的复杂时间奇异分析中得到了处理。数值计算表明，曲率奇点产生后，会出现多个螺旋结构，并在同一纬度上等间隔排列。为了分析螺旋结构的长期演化，我们考虑一个模型，其中每个螺旋中包含的环流集中在单点涡旋中（N点涡环模型），并且我们研究了时间演化如何通过应用动力系统理论来改变。得到的结果如下。首先，我们对 N 点涡环进行了线性稳定性分析，并成功地显式地不仅提供了线性化问题的特征值，还提供了所有特征向量。基于此分析，我们提出了一种当涡数为偶数时将系统简化为二维的方法，并且从对简化模型的严格分析中我们发现失稳的偶数涡环具有极涡。表明，根据轨道的强度，有四种类型的周期轨道，并且它们的稳定性由线性稳定性分析获得的第二大特征值的稳定性决定。该结果发表在Physica D上。目前我们也获得了奇数线程情况下不稳定涡环长期演化的研究成果，正在准备提交成果。此外，我还能够在国际研究会议上做五次演讲，为该研究课题的进展做出了巨大的贡献。

项目成果

Transition of global dynamics of a polygonal vortex ring on a sphere with pole vortices

具有极涡的球体上多边形涡环的全局动力学转变

• 发表时间: 2004
• 期刊: Physica D 196
• 作者: T.Sakajo

T.Sakajo: "On global solutions of Constantin-Lax-Majda equation with a generalized viscosity term"Nonlinearity. 16. 1319-1328 (2003)

T.Sakajo：“关于具有广义粘度项的 Constantin-Lax-Majda 方程的全局解”非线性。

球面渦運動の数理

球形涡运动的数学

• 发表时间: 2004
• 期刊: 日本数学会秋季分科会 応用数学分科会 予稿集
• 作者: T.Sakajo;T.Sakajo;T.Sakajo;坂上 貴之;坂上 貴之;坂上 貴之
• 通讯作者: 坂上 貴之

Takashi SAKAJO: "Blow-up solutions of Constantin-Lax-Majda equation with a generalized viscosity term"Journal of Mathematical Sciences, the University of Tokyo. (To appear). (2003)

Takashi SAKAJO：“带有广义粘度项的 Constantin-Lax-Majda 方程的爆炸解”东京大学数学科学杂志。

極渦のある球面での渦層の運動

具有极涡的球面上涡层的运动

• 发表时间: 2004
• 期刊: Miyazaki University of Technological Report Series In Applied Mathematical Sciences 3
• 作者: T.Sakajo;T.Sakajo;T.Sakajo;坂上 貴之
• 通讯作者: 坂上 貴之