非線形方程式に対する精度保証付き数値計算法に関する研究

非线性方程精度保证的数值计算方法研究

基本信息

批准号：
13780256
负责人：
中谷祐介
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13780256/
关键词：
精度保障付き数値計算非線形方程式 Krawczykの方法

项目摘要

計算機により数値計算を行う際に発生する誤差を考慮し,数学的に厳密な意味での解の誤差を検証することにより,得られた解の精度を保証する研究が,精度保証付き数値計算と呼ばれ近年活発に行われ,成果を挙げている.例えば線形連立方程式に関しては,IEEE標準754にもとづく浮動小数点演算を用いることで,n次元の方程式に対して2n^3/3の計算量で方程式の近似解を求めさらにその精度保証を行える,高速精度保証法が提案されている.非線形方程式f(x)=0に関しては,解の存在を示す手法として,Krawczykの方法と呼ばれる有効な手法がある.この手法は,区間包囲による精度保証技法の代表的なものであり,導関数f´の区間包囲を利用し,簡易ニュートン反復に対して縮小写像の原理の成立を確かめる手法である.本研究は,このKrawczykの方法を用いて非線形方程式の解の存在検証を行う高速な精度保証付き数値計算法を確立することを目的として進めてきた.Krawczykの方法により非線形方程式の解の存在検証を行う場合,解の存在検証を行う領域XからKrawczyk作用素K(X)を計算し,K(X)⊂Xの成立を確認することにより,解の存在性が示される.このとき,K(X)の計算には(行列)×(行列)の計算が現れるため,計算量が増大する原因となる.そこで,これを避けるために,ある行列Lを掛けたLK(X)を計算することにより線形連立方程式に帰着させ,これを前述の高速精度保証法により計算し,K(X)の値を求める.これにより,IEEE754にもとづいた浮動小数点演算を用いて精度保証を行うことにより,Krawczyk作用素K(X)をそのまま計算した場合の計算量が5n^3であるのに対し,本研究での手法では2n^3/3の計算量で済むことが示された.また,この手法を数値計算パッケージMatlabを用いて実装し,具体的な非線形方程式の解の存在検証を行い,その有効性を確認した.

研究考虑到使用计算机执行数值计算时发生的错误并以严格的数学意义验证解决方案的错误的研究，近年来已经积极执行并取得了结果。保证其准确性。关于非线性方程f（x）= 0，有一种有效的方法称为krawczyk方法作为显示解决方案存在的方法。这种方法是使用间隔围栏来确保准确性的典型技术，是一种使用衍生f'验证的方法相互交互的方法，以验证“快速启用a vistipation for New to seplip of New to seples for New appaption”的速度效果，以验证新的速度效果。使用Krawczyk方法验证非线性方程解决方案的存在的数值计算方法。当使用krawczyk方法验证非线性方程的解决方案时，从验证溶液存在的区域x中计算了krawczyk operator k（x），并通过确认k（x）⊂x的存在来显示溶液的存在。目前，K（x）X（矩阵）的计算出现在K（x）的计算中，这导致计算量增加。因此，为避免这种情况，我们计算LK（x）乘以某个矩阵L，并且可以将其解析为线性同时方程，并且以前可以解释这一点。使用高速精度保证方法进行计算，并获得K（x）的值。这表明，通过使用基于IEEE754的浮点算术算术，krawczyk操作员k（x）的计算为5n^3，而这项研究中的方法为2n^3/3。还使用数值计算套件MATLAB实现了此方法，并验证了特定非线性方程的解决方案的存在，并确认了其有效性。