離散可積分系の持つ数理構造の解明と、その応用に関する研究

离散可积系统数学结构的阐明及其应用研究

基本信息

批准号：
01J05002
负责人：
山崎玲 (井上玲)
金额：
$ 2.11万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2003
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は、有限次元力学系の可積分性に関する研究を以下のように進めた。スペクトルパラメーターの多項式で書かれるLax行列の特性方程式は代数曲線を与え、Lax行列の等位集合をこの代数曲線のJacobi多様体の開部分集合に移す写像を作ることができる。この写像が同型写像になるとき、Lax行列は上記の開部分集合の行列実現を与えることになる。一方、このLax行列の時間発展がある条件を満たすとき、その時間発展はJacobi多様体上で線型化される。Lax行列が記述する力学系の可積分性はこの条件に密接な関係がある。私は、上記の写像が同型になり、かつ時間発展が線型化されるようなN×NのLax行列の族を構成した。この族は、N(N-1)種類のタイプの行列で構成されている。また、変数分離法を応用してこれらのLax行列からJacobi多様体への写像を具体的に構成した。さらにこれらの結果を非線型力学系のモデル「周期的境界条件を持つ拡張されたLotka-Volterra格子」の解析に応用し、前述の族がこのモデルのLax行列を周期によって分類する事実に基づいてこのモデルの代数的完全可積分性を示した。こうして、独立な時間発展を生成する保存量の数が対応する代数多様体の種数に等しく、Lax行列に同型な代数多様体上の正則関数がこの系の解を記述することが明らかになった。以上の成果を、平成15年7月にポルトガルのリスボン大学で開かれた数理物理学の国際会議とそれに伴って同国のアルガルヴェ大学で開催された研究会で発表した。

在这个财政年度，对有限尺寸力系统密度的研究进行了如下进行。在光谱参数的多数形式写的LAX矩阵的特征方程给出了一个代数，并且可以在该代数的Jacobi多样性的开放中创建一个Lax矩阵集的集合。当此映射是相同的类型时，Lax矩阵将达到上述开放集的线路。另一方面，当满足此松弛矩阵的时间开发时，时间开发会在雅各比多样性上线性转换。 LAX矩阵描述的既定动力学与此条件密切相关。我配置了NX N的Lax矩阵部落，其中上述映射相同，时间开发将是线性的。这个部落由N（N-1）类型的队列组成。此外，将这些LAX矩阵从这些LAX矩阵到Jacobi多样性的副本是具体配置的。此外，基于上述部落通过循环分类了该模型的Lax矩阵，这些结果将应用于非线性机械系统“扩展的Lotka-volterra晶格”。显示了该模型。这样，很明显，产生独立时间发展的保存数量等于代数多样性的数量，并且在LAX矩阵中描述了相同类型的代数函数。上述结果于2003年7月在葡萄牙里斯本大学和该国阿尔瓦尔夫大学举行的国际数学物理会议上宣布。