高次元双曲多様体の素測地線定理

高维双曲流形的基本测地定理

基本信息

批准号：
00J04516
负责人：
中筋麻貴
金额：
$ 1.92万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2000
资助国家：
日本
起止时间：
2000 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

双曲多様体上の素測地線の分布に関する研究に取り組んできた。分布は素測地線定理と言われる定理の形で評価されており、その誤差項の改善が問題となっている。前年度得られた、3次元双曲多様体の素測地線定理の誤差項の下からの評価をもとに、今年度はその高次元化に取り組んだ。まず、n次元双曲多様体の1つである、基本群がSO(n-1,1)であるリーマン多様体上の素測地線に関し、評価を得ることに成功した(現在投稿中)。この結果を9月の島根大学で行われた日本数学会で発表した。また、11月に沖縄で開かれた国際シンポジウム「Zetas and trace formula in Okinawa」で発表した。沖縄での発表で、九州大学の若山正人教授にされた質問をもとに、その後さらに一般の基本群をもつn次元双曲多様体への拡張を試みた。その結果、Lie群の一般論を用いることで、より一般のn次元双曲多様体上の素測地線定理の誤差項の下からの評価を得ることに成功した(現在投稿中)。ここで得られた結果は、基本群がSO(n-1,1)も含め、スペクトル理論において、連続スペクトルの寄与が無視できるほど十分小さい時、という条件を必要とする。これに関し、12月に米国オハイオ大学のLuo教授が来日した際のdiscussionにおいて、条件を除外するという改良の可能性があることが判明し、現在、その研究に取り組んでいる。一方、別問題として、3次元双曲多様体上に定義されたラプラシアンの最小固有値を評価する問題に取り組んでいる。ラプラシアンの最小固有値はセルバーグゼータ関数の零点を経由し、スペクトルと関係し、その評価は素測地線定理の誤差項の上からの評価の改善につながる。2001年Kim-Sarnakによってこれまで知られていた評価(2次元双曲多様体)が改善された。本研究はこの結果の3次元への高次元化である。評価を得るためにはRankin-Selberg理論と表現論が必要となる。今年度の研究によりこららの理論を習得することができた。目的としている評価にこれを応用し、ある仮定の上で評価を得た。現在その仮定について研究を行っており、今後も続けて、この研究に取り組んでいく。

我一直致力于双曲流形上基本测地线分布的研究。该分布以称为基本测地定理的定理形式进行评估，其误差项的改进是一个问题。基于去年获得的三维双曲流形初等测地定理误差项的底部评估，今年我们致力于增加其维数。首先，我们成功地获得了黎曼流形上的基本测地线的评估，该流形的基本群是 SO(n-1,1)，它是 n 维双曲流形之一（目前正在提交）。研究结果于九月在岛根大学举行的日本数学会上公布。我们还在 11 月于冲绳举行的国际研讨会“Zetas 和微量配方在冲绳”上展示了我们的研究结果。基于在冲绳的一次演讲中向九州大学 Masato Wakayama 教授提出的问题，他随后尝试将其扩展到具有一般基本群的 n 维双曲流形。结果，通过使用李群的一般理论，我们成功地在更一般的n维双曲流形上（目前正在提交）获得了初等测地定理误差项的较低评估。这里获得的结果需要这样的条件：基本群包括SO(n-1,1)，并且连续谱的贡献小到在谱理论中可以忽略不计。对此，去年12月美国俄亥俄大学罗教授访问日本时进行的一次讨论中发现，通过排除这种情况有可能改善这一点，目前我们正在进行这项研究。另一方面，作为一个单独的问题，我正在研究评估在三维双曲流形上定义的拉普拉斯算子的最小特征值的问题。拉普拉斯算子的最小特征值通过 Selberg zeta 函数的零点与谱相关，其评估导致对基本测地定理的误差项的评估得到改进。 2001年，Kim-Sarnak改进了先前已知的评估（二维双曲流形）。这项研究是这一结果向三个维度的延伸。需要Rankin-Selberg理论和表示论来获得评估。通过今年的研究，我了解到了这些理论。我们将其应用到我们的目标评估中，并根据某些假设获得了评估。我们目前正在对这一假设进行研究，并将在未来继续开展这项研究。