高次元双曲多様体の素測地線定理

高维双曲流形的基本测地定理

基本信息

批准号：
00J04516
负责人：
中筋麻貴
金额：
$ 1.92万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2000
资助国家：
日本
起止时间：
2000 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

双曲多様体上の素測地線の分布に関する研究に取り組んできた。分布は素測地線定理と言われる定理の形で評価されており、その誤差項の改善が問題となっている。前年度得られた、3次元双曲多様体の素測地線定理の誤差項の下からの評価をもとに、今年度はその高次元化に取り組んだ。まず、n次元双曲多様体の1つである、基本群がSO(n-1,1)であるリーマン多様体上の素測地線に関し、評価を得ることに成功した(現在投稿中)。この結果を9月の島根大学で行われた日本数学会で発表した。また、11月に沖縄で開かれた国際シンポジウム「Zetas and trace formula in Okinawa」で発表した。沖縄での発表で、九州大学の若山正人教授にされた質問をもとに、その後さらに一般の基本群をもつn次元双曲多様体への拡張を試みた。その結果、Lie群の一般論を用いることで、より一般のn次元双曲多様体上の素測地線定理の誤差項の下からの評価を得ることに成功した(現在投稿中)。ここで得られた結果は、基本群がSO(n-1,1)も含め、スペクトル理論において、連続スペクトルの寄与が無視できるほど十分小さい時、という条件を必要とする。これに関し、12月に米国オハイオ大学のLuo教授が来日した際のdiscussionにおいて、条件を除外するという改良の可能性があることが判明し、現在、その研究に取り組んでいる。一方、別問題として、3次元双曲多様体上に定義されたラプラシアンの最小固有値を評価する問題に取り組んでいる。ラプラシアンの最小固有値はセルバーグゼータ関数の零点を経由し、スペクトルと関係し、その評価は素測地線定理の誤差項の上からの評価の改善につながる。2001年Kim-Sarnakによってこれまで知られていた評価(2次元双曲多様体)が改善された。本研究はこの結果の3次元への高次元化である。評価を得るためにはRankin-Selberg理論と表現論が必要となる。今年度の研究によりこららの理論を習得することができた。目的としている評価にこれを応用し、ある仮定の上で評価を得た。現在その仮定について研究を行っており、今後も続けて、この研究に取り組んでいく。

我们一直在研究对双曲线歧管上摩尔大地线的分布。以称为Geodesic定理的定理形式评估分布，而误差项的改进是问题。今年，我们根据去年获得的3D双曲线歧管的误差项的评估来改善这一维度。首先，我们已经成功地在Riemann歧管上获得了对摩尔测量线的评估，这是N维双曲线歧管之一，其基本组（N-1,1）（n-1,1）（目前发布）。结果是在9月在Shimane大学举行的日本数学协会中提出的。它也在11月在冲绳举行的国际研讨会“ Zetas and Trace Formula”研讨会上介绍。基于京都大学的Wakayama Masato教授在冲绳的演讲中，他随后试图将其扩展到与一般基本团体的N维双曲线歧管。结果，通过使用谎言组的一般理论，我们在摩尔测量定理的误差项下成功地获得了关于更一般的n维双曲线歧管（当前发布）的评估。此处获得的结果要求基本组包括SO（N-1,1），并且在光谱理论中，当连续光谱的贡献足够小时，可以忽略不计时。关于这一点，发现在俄亥俄州大学的Luo教授于12月访问日本时，在讨论中排除条件可以改善，目前正在研究这项研究。另一方面，另一个问题是解决评估在三维双曲线歧管上定义的Laplacians的最低特征值的问题。 Laplacian的最小特征值通过Selberg Zeta函数的零，与频谱有关，其评估导致在地球定理的误差项上提高评估。 2001 Kim-Sarnak改善了先前已知的评估（2D双曲线歧管）。这项研究旨在将结果提高到三个维度。需要兰金·塞尔伯格理论和表达理论才能获得评估。今年的研究使我们能够获得这些理论。这应用于所需的评估，并根据一定的假设进行评估。我目前正在研究这一假设，并将在将来继续从事这项研究。