THE COMPLEX GINZBURG-LANDAU EQUATION

复杂的 GINZBURG-LANDAU 方程

基本信息

批准号：
11640185
负责人：
OKAZAWA Noboru
金额：
$ 0.9万
依托单位：
SCIENCE UNIVERSITY OF TOKYO
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11640185/
关键词：
THE COMPLEX GINZBURG-LANDAU EQUATION INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS GLOBAL IN TIME SOLVABILITY NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS MAXIMAL MONOTONE OPERATORS NONLINEAR SEMIGROUPS PROPER LOWER SEMI-CONTINUOUS CONVEX FUNCTIONS SUBDIFFERENTIAL OPERA

项目摘要

We have considered initial value problem for abstract evolution equations of the formdu/dt + (λ+ iα)∂φ(u) + (κ + iβ)∂ψ(u) - γu = 0, t>0 ; u(0) =u_0,where ∂φ, ∂ψ are subdifferentials of convex functions φ, ψ on a Hilbert space X.Let Ω ⊂ R^N be a bounded domain. Setting X : = L^2(Ω), φ (u) : = (1/p)‖∇u‖^p_<L^p>, u ∈ W^<1, p>_0(Ω) ; ψ(v) : =(1/q)‖v‖^q_<L^q>, v ∈ L^q(Ω), we have ∂ψ(u) = |u|^<q-2>u, u ∈ D(∂ψ) : = L^<2(q-1)>(Ω), ∂φ(u) = -Δ_pu : =-div(|∇u|^<p-2>∇u), u ∈ D(∂φ) : = {u ∈ W^<1, p>_0(Ω) ; Δ_pu∈ L^2(Ω)} and hence(CGL)_p ∂u/∂t - (λ+iα)・Δ_pu + (κ+iβ)|u|^<q-2>u - γu = 0, t>0 ; u(O) : u_0.Here we have assumed that p 【greater than or equal】 2, q 【greater than or equal】 2. We have revealed that the global in time solvability of (CGL)_p is classified as follows according to the pair (α/λ, β/κ) ∈ R^2 and the initial value. In any case we assume that |α|/λ 【less than or equal】 1/c_p : = 2√<p-1>/(p-2).1. Existence of weak solutions for any (α/λ, β/κ), u_0 ∈ L^2(Ω)(no uniqueness, in general)2. Existence of strong solutions for (α/λ, β/κ) belonging to "(CGL) region" : = {(x, y) ∈ R^2 ; xy 【greater than or equal】 0 or |xy| - 1 < (|x| + |y|)/c_q} and u_0 ∈ W^<1, p>_0(Ω) ∩ L^q(Ω) (no uniqueness, in general)3. Unique existence of strong solutions for (α/λ, β/κ) with |β|/κ 【less than or equal】 1/c_q and u_0 ∈ L^2(Ω) (smoothing effect of solution operators).

我们考虑了形式为 du/dt + (λ+ iα)∂φ(u) + (κ + iβ)∂ψ(u) - γu = 0, t>0 的抽象演化方程的初值问题； =u_0，其中 ∂φ、∂ψ 是希尔伯特空间 X 上凸函数 φ、ψ 的次微分。令 Ω ⊂ R^N 为有界域，设置 X : =。 L^2(Ω), φ (u) : = (1/p)‖∇u‖^p_<L^p>, u ∈ W^<1, p>_0(Ω) : = (1/q)‖v‖^q_<L^q>, v ∈ L^q(Ω), 则有 ∂ψ(u) = |u|^<q-2>u, u ∈ D(∂ψ) : = L^<2(q-1)>(Ω), ∂φ(u) = -Δ_pu : =-div(|∇u|^<p-2>∇u), u ∈ D(∂φ) : = {u ∈ W^<1, p>_0(Ω) ; Δ_pu∈ L^2(Ω)} 因此(CGL)_p ∂u/∂t - (λ+iα)·Δ_pu + (κ+iβ)|u|^<q-2>u - γu = 0, t>0 ; u(O) : u_0。这里我们假设 p [大于或等于] 2, q 【大于或等于】 2. 我们揭示了 (CGL)_p 的全局时间可解性根据 (α/λ, β/κ) ε 对进行如下分类R^2 和初始值在任何情况下我们都假设 |α|/λ 【小于或等于】 1/c_p : = 2√<p-1>/(p-2).1。对于任何 (α/λ, β/κ)，u_0 ∈ L^2(Ω)（一般情况下没有唯一性）2 存在属于“(CGL) 区域的 (α/λ, β/κ) 强解。 ”：= {(x, y) ∈ R^2 ; xy [大于或等于] 0 或 |xy| - 1 < (|x| + |y|)/c_q} 且 u_0 ∈ W^<1, p>_0( Ω) ∩ L^q(Ω) （一般来说没有唯一性）3. (α/λ, β/κ) 的强解的唯一存在性，且 |β|/κ [小于或等于] 1/c_q 和 u_0 ∈ L^2(Ω) （解算子的平滑效果）。