平均曲率一定曲面の安定性と一意性に関する研究

常平均曲率曲面的稳定性和唯一性研究

• 批准号: 08640112
• 负责人: 小磯 深幸
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Kyoto University of Education
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640112/
• 关键词: 平均曲率一定曲面; 曲面の安定性; 曲面の一意性; 等周問題; 最大値原理; 自由境界問題

3次元ユークリッド空間内のコンパクトな平均曲率一定曲率の安定性と一意性についていくつかの新しい結果を得た.以下,議論はすべて3次元ユークリッド空間におけるものとし,平均曲率一定曲面をH曲面と呼ぶ.まず初めに,H曲面について,もしもそれが安定ならば自己交差をもたないということを証明した.ただしここで,H曲面の安定性の定義として次のものを採用する.まず,コンパクトかつ境界をもつH曲面Mについては,Mの境界と体積を保つ任意の変分(ただし曲面の位相型が変わってもよい)に対してMが面積の極小値を与えるとき,Mは安定であると定義する.また,一般のH曲面M_0については,M_0が安定であるとは,M≪M_0なる任意のコンパクトかつ境界をもつH曲面Mが安定であるときをいう.証明の方法は,曲面が自己交差をもつと仮定して,自己交差点のひとつの近傍で,境界と体積を保ちながら面積を減少させるような(一般には位相型を変えてしまうような)変分を構成するというものである.この結果とAlexandrovの鏡像法を用いることにより,H曲面の一意性関して次の結果が得られた.1.円周で張られるコンパクトH曲面Mが安定であって,境界の近傍では境界円周を含む平面と交わらないならば,Mは球帽である.2.二つの平行な平面のあいだにあるコンパクトなはめ込まれた曲面であって,与えられた体積をもつもの全体の中で面積極小のもの(このとき考えている曲面は安定H曲面となる)は,半球面,直円柱,または,球面である.

我们已经获得了一些关于三维欧几里得空间中紧凑型平均恒定曲率稳定性和独特性的新结果。所有讨论均在三维欧几里得空间中进行，恒定曲率的表面称为H表面。首先，对于h表面，证明如果稳定，则没有自我干预。但是，在这里，我们将以下内容用作H表面稳定性的定义。首先，对于紧凑型和边界H表面M时，当M给出了保持M的边界和体积的最小面积值时（但表面的相类型可能会有所不同），M定义为稳定。同样，对于一般H表面M_0，M_0是稳定的，这意味着M_0是稳定的，M_0是任意紧凑的，而边界H形H形M_0是任意紧凑的M_0，当面M稳定时。证明方法是假设表面具有自我交流，并且构成了一个自身交流的附近的变异（通常会改变相类型），这在维持边界和体积的同时减少了区域。通过使用此结果和Alexandrov的镜像方法，获得了以下结果，有关H表面的唯一性：1。如果紧凑的H表面M保持在圆周状态，并且不会将包含边界附近边界圆周的平面相交，则M是球形。 2。两个平行平面之间的紧凑型表面，在整个给定体积的整个平面之间，表面很小（此时考虑的表面变为稳定的H表面）是半球形，直圆柱或球形表面。

项目成果

足立恒雄(編者): "リーマン著作集(仮題)" 朝倉書店(未定),

安达恒夫（编）：《黎曼著作集（暂定名）》朝仓书店（未定）、

小磯 深幸: "最大値原理の平均曲率一定曲面への応用" 京都大学数理解析研究所講究録. (未定).

Miyuki Koiso：“最大值原理在具有恒定平均曲率的表面上的应用”京都大学数学科学研究所 Kokyuroku（待定）。