平均曲率一定曲面の安定性と大域的性質の研究のための新しい理論の探求

寻找新的理论来研究具有恒定平均曲率的表面的稳定性和全局特性

• 批准号: 10874034
• 负责人: 小磯 深幸
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Kyoto University of Education
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 1998
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1998 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10874034/
• 关键词: 平均曲率一定; 自由境界問題; Platean問題; 安定な平均曲率一定曲面; Inclusing Principle; 平均曲率一定曲面の一意性

1.平面上に自由境界をもつ安定な平均曲率一定曲面が半球面に限ることを証明した。詳しくは次のとおりである。IIをR^3内の平面とする。II上に境界をもつコンパクト曲面であって,与えられた体積をもつものの中での面積汎関数の臨界点をIIに対する停留曲面と呼ぶ。停留曲面は平均曲率一定であり,境界ではΠと直交する。停留曲面χが安定であるとは,χと同じ体積をもち,II上に境界をもつ曲面の変分に対して,面積汎関数の第二変分が非負であるときをいう。本研究では,安定な停留曲面は半球面に限ることを証明した。証明は,停留曲面χが半球面でない場合には,χの支持関数に定数を加えたものを用いて得られる体積を保つ法方向の変分が,面積を減少させることを示すことにより得られる。2. 与えられた境界をもつ平均曲率一定曲面が一意的であるための,境界及び曲面の大きさに対する十分条件を求めた。すなわち,3次元ユークリッド空間内の単一閉曲線族Hと実数Hが与えられたとき,Γで張られるコンパクトな平均曲率一定Hの曲面(以下,CMC-H曲面と呼ぶ)であって『良い』性質を持つものは一意的であるかどうかという問題がある。本研究では,「Γで張られる『あまり大きくない』CMC-H曲面は一意的であるか?」という問題について研究した。まず,この問題に対するさまざまな既知の結果の本質的な部分を統一的に包含する「Inclusing Principle」の一般的な形を得,さらに,それを用いてΓが平面凸曲線への1対1直交射影をもつ場合について,Γで張られる『あまり大きくない』CMC-H曲面が一意的であるためのΓに対する十分条件を得た。

1. 我们证明了具有恒定平均曲率和平面上自由边界的稳定表面仅限于半球形表面。详情如下。令 II 为 R^3 中的平面。边界在 II 上且给定体积的紧凑表面内起作用的区域的临界点称为 II 上的静止表面。静止表面具有恒定的平均曲率，并且在边界处与 Π 正交。如果面积泛函的第二变分相对于与 χ 具有相同体积且在 II 上具有边界的表面的变分是非负的，则称静止表面 χ 是稳定的。在这项研究中，我们证明稳定的静止表面仅限于半球形表面。证明是通过证明如果静止表面 χ 不是半球，则使用 χ 的支持函数加上常数来保留体积的法向变化会减少面积 。 2. 我们找到了边界和曲面尺寸的充分条件，使得给定边界的平均曲率恒定的曲面是唯一的。即，当给定三维欧几里得空间中的单个闭曲线族H和实数H时，由γ跨越的具有恒定平均曲率H的紧凑曲面（以下称为CMC-H曲面）是“良好的” ”。存在一个问题，即具有属性的事物是否是唯一的。在这项研究中，我们研究了这样一个问题：“由 Γ 跨越的‘不是很大’的 CMC-H 表面是否唯一？”首先，我们得到“包含原理”的一般形式，统一包含了该问题的各种已知结果的本质部分，然后用它来证明 Γ 与平面凸曲线一一正交。在有投影的情况下，我们获得了 Γ 的充分条件，使得 Γ 所跨越的“不是很大”的 CMC-H 表面是唯一的。

项目成果

Miyuki Koiso: "The uniqueness for stable surfaces of constant mean curvature with free boundary" Bulletin of Kyoto University of Education. B94. 1-7 (1999)

Miyuki Koiso：“具有自由边界的恒定平均曲率稳定表面的独特性”京都教育大学公告。