Hyper-Kahler多様体と無限次元ゲージ理論

超卡勒流形和无限维规范理论

• 批准号: 07740059
• 负责人: 後藤 竜司
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740059/
• 关键词: 超ケーラー多様体; グラママン多様体; ケーラー商構成法

筆者はこれまでの研究により、超ケーラー商構成法により、新たなアインシュタイン多様体を構成してきたが、本年度はこの超ケーラー商構成法を無限次元に拡張することを試みた。これは、これまでゲージ理論において、モジュライ空間を構成するために使われていたものを一般化し、興味深い多様体を造り出すことを目標とする。特に無限次元のAffine空間にHilbert Lie群が作用している場合が重要である。このとき、筆者はHilbert Lie群の作用から定義されるHilbert空間のある作用素がFredholm型であることに着目し、超ケーラー商構成法を無限次元においても、かなり自由に使えるように一般化することに成功した。これを用いて、まずケーラー商構成法により、無限次元Hilbert空間のHilbert Lie群による商として、無限次元のGrassmann多様体を構成した。この無限次元のGrassmann多様体とは無限次元Hilbert空間において、いわば∞/2次元の平面全体のなす無限次元多様体である。更に筆者は超ケーラー商構成法によりこのGrassmann多様体の余接束を超ケーラー多様体として構成した。この超ケーラー多様体は別の複素構造ではあるBanach Lie群の複素Adjoint Orbitとしてとらえることができる。この超ケーラー多様体にはその超ケーラー構造を保つ自然なS^1作用があり、有限次元のGrassmann多様体の余接束はすべてこのS^1作用の固定点集合となっている。つまりこの無限次元の超ケーラー多様体は非常に普遍的な性格を持っている。無限次元のGrassmann多様体はKdV-typeの方程式との関連が重要である。筆者はこのGrassmannの拡張として得られた超ケーラー多様体に対応するKdV-typeの方程式の拡張を調べている。これはHiggs束と呼ばれているvector束の拡張を自然にhyper-Kahler部分多様体として含んでいると期待される。

在我之前的研究中，我使用超卡勒商构造方法构造了新的爱因斯坦流形，但今年我尝试将这种超卡勒商构造方法扩展到无限维。目标是概括规范理论中用于构造模空间的内容并创建有趣的流形。当希尔伯特李群作用于无限维仿射空间时，这一点尤其重要。此时，作者关注了由希尔伯特李群的作用定义的希尔伯特空间中的某个算子是Fredholm型这一事实，并推广了超凯勒商构造方法，使其可以相当自由地使用，甚至在无限维度上成功了。利用这一点，我们首先使用凯勒商构造方法构造了无限维格拉斯曼流形作为无限维希尔伯特空间的希尔伯特李群的商。这个无限维格拉斯曼流形可以说是无限维希尔伯特空间中整个 ∞/2 维平面构成的无限维流形。进一步，作者利用超凯勒商构造方法将该格拉斯曼流形的余切丛构造为超凯勒流形。这个超凯勒流形可以被视为另一种复杂结构，即巴纳赫李群的复杂伴随轨道。这个超卡勒流形具有自然的 S^1 作用，维持其超卡勒结构，并且有限维格拉斯曼流形的所有余切束都是该 S^1 作用的不动点集。换句话说，这个无限维超卡勒流形具有非常普遍的特征。无限维格拉斯曼流形和 KdV 型方程之间的关系很重要。作者正在研究与作为 Grassmann 的扩展而获得的超级 Kähler 流形相对应的 KdV 型方程的扩展。预计这自然会包含称为希格斯丛的矢量丛的延伸，作为超卡勒子流形。