Hyper-Kahler多様体と無限次元ゲージ理論

超卡勒流形和无限维规范理论

• 批准号: 07740059
• 负责人: 後藤 竜司
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740059/
• 关键词: 超ケーラー多様体; グラママン多様体; ケーラー商構成法

筆者はこれまでの研究により、超ケーラー商構成法により、新たなアインシュタイン多様体を構成してきたが、本年度はこの超ケーラー商構成法を無限次元に拡張することを試みた。これは、これまでゲージ理論において、モジュライ空間を構成するために使われていたものを一般化し、興味深い多様体を造り出すことを目標とする。特に無限次元のAffine空間にHilbert Lie群が作用している場合が重要である。このとき、筆者はHilbert Lie群の作用から定義されるHilbert空間のある作用素がFredholm型であることに着目し、超ケーラー商構成法を無限次元においても、かなり自由に使えるように一般化することに成功した。これを用いて、まずケーラー商構成法により、無限次元Hilbert空間のHilbert Lie群による商として、無限次元のGrassmann多様体を構成した。この無限次元のGrassmann多様体とは無限次元Hilbert空間において、いわば∞/2次元の平面全体のなす無限次元多様体である。更に筆者は超ケーラー商構成法によりこのGrassmann多様体の余接束を超ケーラー多様体として構成した。この超ケーラー多様体は別の複素構造ではあるBanach Lie群の複素Adjoint Orbitとしてとらえることができる。この超ケーラー多様体にはその超ケーラー構造を保つ自然なS^1作用があり、有限次元のGrassmann多様体の余接束はすべてこのS^1作用の固定点集合となっている。つまりこの無限次元の超ケーラー多様体は非常に普遍的な性格を持っている。無限次元のGrassmann多様体はKdV-typeの方程式との関連が重要である。筆者はこのGrassmannの拡張として得られた超ケーラー多様体に対応するKdV-typeの方程式の拡張を調べている。これはHiggs束と呼ばれているvector束の拡張を自然にhyper-Kahler部分多様体として含んでいると期待される。

通过先前的研究，作者使用Superkohler商组成方法构建了新的爱因斯坦歧管，但是今年我试图将这种Superkohler商的构图扩展到无限的维度。这旨在概括仪表理论中以前使用的内容来构建模量空间并创建有趣的歧管。当希尔伯特谎言群体在无限的维度仿射空间上作用时，这一点尤其重要。目前，我专注于以下事实：希尔伯特（Hilbert）领域的某些操作员是由希尔伯特·利（Hilbert Lie）组的作用定义的，是弗雷德·霍尔姆（Hilbert Lie）的类型，并成功地概括了Superkohler商的成分方法，以便即使在无限维度中也可以很自由地使用它们。使用此过程，我们首先使用Kohler商人的构造方法构建了一个基于Hilbert Lie Group的商人，作为基于Hilbert Lie Group的商人。这种无限的格拉斯曼歧管是无限二二维流形，由无限维二维的希尔伯特空间中的∞/2d的整个平面形成。此外，作者使用Superkohler商构图方法构建了Grassmann歧管的共同捆绑包作为Superkohler歧管。这个超科勒的歧管可以看作是巴拉赫谎言组的复杂隔离轨道，这是另一个复杂的结构。这种超科勒歧管具有自然的s^1动作，可保留其超科勒的结构，并且有限维的格拉曼（Grassmann）歧管的所有共同捆绑都是该s^1动作的固定点集。换句话说，超级科勒歧管的无限维度具有非常普遍的特征。与KDV型方程相关的无限二二维Grassmann歧管很重要。作者研究了与Grassmann扩展的Superkohler歧管相对应的KDV型方程的扩展。预计这将自然包括称为Higgs束的向量束的扩展，称为Hyper-Kahler Submanifold。