3次元ベクトル場のホモクリニック分岐によるカオスの出現の検証

验证三维矢量场同宿分岔引起的混沌出现

基本信息

批准号：
06740150
负责人：
國府寛司
金额：
$ 0.7万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では3次元ベクトル場におけるホモクリニック軌道の分岐によるカオスの出現の検証について以下のような成果を得た。(1)余次元2のホモクリニック軌道からのカオスの発生の数学的証明:inclination-flip型ホモクリニック軌道については[Homburg-Kokubu-Krupa]の論文で解決され、orbit-flip型ホモクリニック軌道については現在準備中の論文で解決された。これらは共に余次元2のホモクリニック軌道に沿ったポアンカレ写像を構成し、それがSmaleの馬蹄型写像を含むことを示すことによって証明された。またこの結果の副産物として、ある種のベクトル場の退化特異点の開折に幾何的Lorenzアトラクタが存在することがinclination-flip型ホモクリニック軌道の解析によって証明できた。これは論文[Dumortier-Kokubu-Oka]にまとめられた。(2)ホモクリニック軌道の分岐の計算機を用いた研究:小室、岡との共同研究で区分線型ベクトル場におけるorbit-flip型ホモクリニック軌道の大域的な分岐を計算機を用いて精密に解析した。これによりある条件の下ではorbit-flip型ホモクリニック軌道からは従来の研究によって知られていたものよりもはるかに複雑な分岐が見られることが示された。この結果は現在準備中の論文に発表される予定である。一方、3次元で余次元3の退化特異点の標準形を与える常微分方程式の族における分岐の解析も行った。特にAUTOと呼ばれる分岐解析のために開発されたプログラムを用いて、ホモクリニック軌道の存在する分岐曲線を2次元パラメータ平面内で追跡し、その大域的構造についての興味深い現象を発見した。これは今後の研究の重要な課題となるであろう。この研究は西山、岡との共同研究で現在論文を準備中である。

在这项研究中，我们获得了以下关于验证三维矢量场中同宿轨迹分叉引起的混沌出现的结果。 (1)余维2同宿轨道产生混沌的数学证明：在[Homburg-Kokubu-Krupa]的论文中求解了倾斜翻转型同宿轨道，并求解了轨道翻转型同宿轨道。在目前正在准备的一篇论文中解决了。这些一起构成了沿着余维 2 的同宿轨迹的庞加莱图，并通过证明它包含斯梅尔的马蹄图来证明。作为这个结果的副产品，我们能够通过分析倾斜翻转同宿轨迹来证明在某个向量场的简并奇点折叠中几何洛伦兹吸引子的存在。这在论文 [Dumortier-Kokubu-Oka] 中进行了总结。 (2)基于计算机的同宿轨迹分岔研究：在与小室和冈的联合研究中，我们利用计算机精确分析了分段线性矢量场中轨道翻转型同宿轨迹的全局分岔。这表明在某些条件下，轨道翻转同宿轨迹表现出比之前已知的更复杂的分岔。结果将发表在目前正在准备的论文中。另一方面，我们还分析了常微分方程族中的分岔，这些常微分方程给出了三维余维 3 简并奇点的标准形式。特别是，使用为分叉分析开发的名为 AUTO 的程序，我们追踪了二维参数平面中存在同宿轨迹的分叉曲线，并发现了有关其整体结构的有趣现象。这将是未来研究的一个重要课题。这项研究是与 Nishiyama 和 Oka 的联合研究，目前正在准备一篇论文。