Large time behavior of solutions to nonlinear hyperbolic and dispersive equations with weakly dissipative structure

弱耗散结构非线性双曲和色散方程解的大时间行为

• 批准号: 22KJ2801
• 负责人: 西井 良徳
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Tokyo University of Science
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2801/
• 关键词: 半線形波動方程式; 弱消散構造; エネルギー減衰

本年度は弱い消散構造を伴う半線形波動方程式の初期値問題を2次元ユークリッド空間において考察した．非線形消散構造を特徴づける「Agemi型構造条件」の下で存在が保障される時間大域解について，その消散構造が部分的に退化する状況での解の時刻無限大における挙動には多くの未解決部分が残っている．方程式が単独である場合には，解のエネルギーに対する上からの評価が得られており，特に非線形項がAgemi条件を満たすが零条件を満たさない場合には解のエネルギーは時間減衰することが知られている．一方で下からの評価やその減衰率の最適性に関しては未知であった．本年度は佐川侑司氏，佐藤拓也氏との共同研究で，非線形項がAgemi条件を満たすが零条件を満たさない場合の解のエネルギーの下からの評価を与えた．さらに，消散構造が部分的に退化している場合に対して，既に得られていた上からの評価を改善した．より具体的には，既知の結果では解のエネルギーの上からの減衰率は非線形項の構造から定まる正定数λと任意に小さい正の数δを用いてlog tの-λ+δ乗と表すことができていた．本年度の研究では，消散構造の退化と対応する条件を満たす初期値に対する解のエネルギーが下からlog tの-λ乗で評価できることを示し，さらに上からの評価に関しても「δの損失」を取り除くことに成功した．これらにより，Agemi条件を満たす単独半線形波動方程式に対して，その消散構造が部分的に退化している場合の解のエネルギー減衰率の最適性を得ることができた．

今年，我们检查了在二维欧几里得空间中具有弱耗散结构的半线性波方程的初始值问题。对于表征非线性耗散结构的“ Agemi型结构条件”下保证存在的时间全球溶液，在溶液的时间无限属性中，在耗散结构部分退化的情况下，许多未解决的部分仍然存在于溶液的无限时。当方程式单独时，获得了溶液能量的最高评估，并且众所周知，当非线性项满足AGEMI条件但不零条件时，溶液的能量是减弱的时间。另一方面，底部的评估和衰减率的最佳衰减率尚不清楚。今年，在与Sagawa Yuji和Sato Takuy​​a进行的联合研究中，当非线性术语满足Agemi条件但不零条件时，我们从解决方案的能量底部进行了评估。此外，当耗散结构部分退化时，我们改进了已经获得的上述评估。更具体地说，已知的结果表明，使用从非线性项的结构和任意的小正数δ确定的正常数λ，可以将溶液能量上方的衰减率表示为log t的-λ+δ幂。今年的研究表明，解决方案的能量对于满足耗散结构退化的初始值的能量和相应条件可以通过log t的-λ幂从底部评估，并且也成功地消除了上面评估中的“损失Δ损失”。这使我们能够在满足Agemi条件的单个半线性波方程中部分退化耗散结构时获得溶液的最佳能量衰减速率。