双曲　３　次元多様体の指標多様体とそのゼータ関数の研究

双曲三维流形指示流形及其zeta函数研究

基本信息

批准号：
13J01342
负责人：
原田新也
金额：
$ 2.76万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2013
资助国家：
日本
起止时间：
2013-04-01 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は数論的双曲閉３次元多様体の場合についての計画していた研究が完了した．また当初の計画より更に研究を進めることが出来，期待以上の成果が得られた．具体的には，本研究計画において数論的双曲閉３次元多様体の SL_2 指標多様体のゼータ関数がその双曲３次元多様体のトレース体のデデキントゼータ関数になることを予想しており，平成26年度の研究でいくつかの条件の下でこの予想が成り立つことを示していた．今年度の研究によりこれらの条件を外すのみならず，（数論的とは限らない）一般の双曲閉３次元多様体について SL_2 指標多様体のゼータ関数がその双曲３次元多様体のトレース体のデデキントゼータ関数になることを示した．また更に研究を進め，PSL_2 指標多様体の場合にはそのゼータ関数がその双曲３次元多様体の不変トレース体のデデキントゼータ関数になることを示した．これにより数論的双曲閉３次元多様体に関して， s=2 での特殊値が双曲３次元多様体の双曲体積を用いて表されることが分かった．指標多様体と双曲体積の関係に関しては，結び目の補空間の場合について SL_2 指標多様体から定まる A 多項式のマーラー測度との関係が具体的な場合に確認されていた．今回得られた PSL_2 指標多様体と双曲体積の関係は一般の数論的多様体に関して得られたことからも非常に意義深いものであると考えられる．本研究内容については論文の形にしてプレプリントサーバー arXiv にて既に公開した．

今年，我们已经完成了一项有关数值理论双曲线封闭3D歧管的计划的研究。此外，比最初计划的进一步研究是可能的，从而导致超出预期的结果。具体而言，在该研究项目中，我们预测，sl_2索引歧管的Zeta函数ZETA函数的Zeta函数是多种理论双曲线封闭的三维歧管的ZETA函数，将成为双曲三维歧管痕迹的Dedekind Zeta函数，在2014年的一项研究中，这一预测在几种情况下。今年的研究不仅排除了这些条件，而且还表明，对于一般双曲线封闭的3D歧管（不一定是数值理论），SL_2索引歧管的Zeta函数变成了双曲线3D歧管的痕迹的Dedekind Zeta函数。我们进一步研究了进一步研究，并表明在PSL_2索引歧管的情况下，Zeta函数成为双曲线3D歧管的不变痕迹形式的Dedekind Zeta函数。这表明，对于数值理论双曲线封闭3D流形，S = 2时的特殊值使用双曲线3D歧管的双曲体积表示。关于索引歧管和双曲线体积之间的关系，在具体情况下确认了从SL_2索引歧管确定的多项式的索引歧管与Mahler度量之间的关系。这次获得的PSL_2索引歧管和双曲线体积之间的关系被认为是非常有意义的，因为它是关于一般数值歧管获得的。这项研究的内容已经以有关预印式服务器ARXIV的论文的形式发表。