特異摂動の方程式に対するWKB解析

奇异摄动方程的 WKB 分析

• 批准号: 05230036
• 负责人: 竹井 義次
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-05230036/
• 关键词: WKB解析; Painleve方程式; モノドロミー保存変形; 接続公式; Stokes現象

今年度は,主としてWKB解析の立場からのPainleve方程式の研究を行った。まず、Painleve方程式に対して、(大きなパラメータに関する)形式巾級数解のみならず指数函数型の摂動項を持った形式解が存在することが見い出された。これらはいずれも、線型方程式の場合のWKB解に相当するものである。特に、後者の形式解を用いて、最も簡単なPainleve I型の方程式について、形式巾級数解の接続公式(即ち、Stokes曲線を越えた場合に起こるStokes現象を記述する公式)を具体的に表現することが可能になった。更に、他のPainleve方程式に対しては、その形式巾級数解とPainleve I型方程式の形式巾級数解との間にある種の変換論が成立することが示された。その証明において、Painleve方程式と線型方程式のモノドロミー保存変形との関連が本質的な役割を演じている。この変換論(あるいはその精密化)を利用すれば、全てのPainleve方程式について形式巾級数解の接続公式を決定することが可能であろうと期待される(現在、研究が進展中)。いずれにしろ、“Painleve方程式に対するWKB解析"という理論の枠組は、ほぼ明らかになったと考えて良いと思われる。他方、Painleve方程式の一般解をWKB解析の視点から取り扱うこと、特にその接続公式を求めること等、残された課題も少なくない。これに関して、現在、モノドロミー保存変形との関連に基づいて、Painleve I型方程式についてその一般解の第一積分を近似的に求めたKapaevの仕事の精密化に取り組んでおり、ほぼ成功したといえる段階である。これがどういう重要性を持つのか、現時点ではまだ明らかではないが、少なくとも上述の問題、更には(そこで必要となる二重変わり点を持った線型方程式の解析を通じて)WKB解析の理論の基礎づけに対しても、何らかの進展がもたらされたことは間違いないであろう。

今年，我们主要从WKB分析的角度进行了对潘氏症方程的研究。首先，发现对于Painleve方程，不仅有一个形式宽度串联解决方案（对于大参数），而且还具有具有指数函数类型扰动项的形式缩写解决方案。所有这些都对应于线性方程的WKB解决方案。特别是，使用后一种形式解决方案，可以为最简单的painleve i方程式，可以特异性地表达形式宽度系列解决方案的连接公式（即，描述超过Stokes曲线时发生的Stokes现象的公式）。此外，已经表明，对于其他Painleve方程，某个变换理论在其形式宽度序列解决方案与Painleve I-Type方程的形式宽度系列解决方案之间存在。在此证明中，线性方程的painleve方程与单片保守变体之间的关系起着至关重要的作用。使用这种转换理论（或其完善），可以预期可以确定所有Painleve方程的形式宽度系列解决方案的连接公式（目前正在开发研究）。无论如何，可以肯定地假设“ Painleve方程的WKB分析”的框架几乎变得很明显。另一方面，还有许多剩余的问题，例如从WKB分析的角度来处理Painleve方程的一般解决方案，尤其是找到了连接公式。在这方面，我们目前正在努力改善Kapaev的工作，该工作近似于I型I型方程的一般解决方案的第一个组成部分，其基于其与单片保护转化的关系，可以说这几乎是成功的。目前尚不清楚这将具有什么重要性，但是毫无疑问，至少在上述问题中，甚至是基于WKB分析理论（通过对需要双层边缘点的线性方程分析），已经取得了一些进展。

项目成果

竹井義次(河合隆裕との共著): "On the Structure of Painleve Transcendents with a Large Parameter." Proc.Japan Acad.,Ser.A. 69. 224-229 (1993)

Yoshitsugu Takei（与 Takahiro Kawai 合着）：“具有大参数的 Painleve Transcendents 的结构。”Proc.Japan Acad.，Ser.A. 69. 224-229 (1993)

竹井義次(河合隆裕,青木貴史との共著): "Algebraic Analysis of Singular Perturbations -on Exact WKB Analysis-" Sugaku Expositionsに発表予定(上記の英語訳).

Yoshitsugu Takei（与 Takahiro Kawai 和 Takashi Aoki 合着）：“Algebraic Analysis of Singular Perturbations -on Exact WKB Analysis-” 计划在 Sugaku Expositions 上发表（上述内容的英文翻译）。

竹井義次(河合隆裕,青木貴史との共著): "特異摂動の代数解析学-exact WKB analysisについて-" 数学. 45. 299-315 (1993)

Yoshitsugu Takei（与 Takahiro Kawai 和 Takashi Aoki 合着）：“奇异扰动的代数分析 - 关于精确的 WKB 分析 -” 数学 45. 299-315 (1993)