高次元パンルヴェ型方程式の非線型・線型対応に関する研究

高维Painlevé型方程的非线性与线性对应关系研究

• 批准号: 20K14330
• 负责人: 中村 あかね
• 金额: $ 2.33万
• 依托单位: Josai University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K14330/
• 关键词: パンルヴェ方程式; 可積分系; Painleve型方程式

2022年度の多くは引き続き，Eric Rains氏のPainleve型方程式に関する理論を核としてどのように具体例の理解に落とし込めるかという方面で研究した．Rains氏の理論では，線型常微分方程式や差分方程式のモジュライ問題（微分・差分Painleve型方程式）を考える際に，可換化してHirzebruch曲面とその上の因子の組のブローダウン構造込みでのモジュライ問題（Generalized Hitchin系）を先に考える．次元を固定すると，方程式の分類問題も，曲面上の因子の分解に関する組み合わせ論的な問題に翻訳される．実際にプログラムを組んで計算することで，２次元の場合に，古典的なPainleve方程式の線型問題の分類を再理解することはできたが，次元を上げると組合せ爆発で計算を完遂できなかった．また，以前に取り組んでいた４次元行列Painleve型方程式の対称性について，未解決だった部分を再度整理し直して計算に取り組んだ．方針としては，線型方程式から誘導される対称性として４次元行列Painleve型方程式の対称性を記述・理解するというものである．確定型の線型常微分方程式にはKatzのmiddle convolution, additionおよびSchlesinger変換といった各特異点周辺での特性指数を変える変換がある．これらの変換であって，方程式のスペクトラル型を変えないものが線型方程式の持つ対称性である．変換前後で，変形方程式であるPainleve型方程式の正準変数やパラメータがどのように変化するかを追うことで，Painleve型方程式の対称性が記述できると期待される．

2022财政年度的大部分时间继续研究如何将埃里克（Eric Rains）雨水的潘leve型方程理论纳入对具体实例的理解中。在降雨理论中，当考虑线性微分方程和差异方程式的模量问题（差异/差分painleve类型方程）时，我们首先考虑涉及换向的模量问题（广义Hitchin系统），包括换向的效果以及包括希尔兹布鲁克表面的结构和上述因素。固定尺寸还将方程式的分类问题转化为有关表面上因子分解的组合问题。通过实际编译程序和计算，我们能够重新理解经典painleve方程中线性问题的分类，但如果我们增加了尺寸时，我们无法完成由于组合爆炸而导致的计算。此外，我们重组了我们以前从事并从事计算工作的4维矩阵painleve型方程的对称部分的未解决部分。该策略是描述和理解四维矩阵Painleve类型方程的对称性，为从线性方程中得出的对称性。确定性线性的普通微分方程包括改变每个单数点周围特征指数的转换，例如Katz的中间卷积，加法和Schlesinger变换。这些不改变方程的光谱类型的转换是线性方程所具有的对称性。通过遵循变换并遵循变形方程式的painleve型方程式的规范变量和参数，可以预期可以描述painleve型方程的对称性。

项目成果

Discrete Hamiltonians of discrete Painlev? equations

离散 Painlev 的离散哈密顿量？

• DOI: 10.5802/afst.1660
• 发表时间: 2021
• 期刊: Annales de la Facult? des sciences de Toulouse : Math?matiques
• 作者: Mase Takafumi;Nakamura Akane;Sakai Hidetaka
• 通讯作者: Sakai Hidetaka

Nonlinear to linear, introduction to the Painlev equations through elliptic/hyperelliptic functions

从非线性到线性，通过椭圆/超椭圆函数介绍 Painlev 方程

• 发表时间: 2021
• 作者: 川本昌紀;石田敦英;鈴木新太郎;中村あかね
• 通讯作者: 中村あかね

Genus two curves associated with the autonomous 4-dimensional Painleve-type systems

与自主 4 维 Painleve 型系统相关的两条曲线

• 发表时间: 2021
• 作者: 川本昌紀;宮崎隼人;Fujiwara Kazumasa;Tateyama Shota;井上 寛;Akane Nakamura
• 通讯作者: Akane Nakamura