Extension of Milnor link invariants to linkoids

Milnor 链接不变量到链接体的扩展

基本信息

批准号：
21K20327
负责人：
和田康載
金额：
$ 2万
依托单位：
Kobe University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-08-30 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K20327/
关键词：
リンコイドミルナー不変量仮想結び目ねじれ数 2k-移動多重化

项目摘要

2次元ユークリッド空間にはめ込まれたm個の円周およびn個の単位区間で、多重点が横断的な2重点のみであるものを、(m, n)型リンコイド図式という(mとnは非負整数)。ただし、各2重点には交点の情報が与えられているとする。ライデマイスター移動と呼ばれる3種類の局所変形で生成される同値関係による(m, n)型リンコイド図式の同値類を、(m, n)型リンコイドという。とくに(1, 0)型リンコイドは結び目のことであり、この意味でリンコイドは結び目の一般化とみなせる。昨年度に実施した研究により、絡み目のミルナー不変量を、(0, n)型リンコイドの不変量に拡張することができていた。そこで、本年度は絡み目のミルナー不変量を、1以上の整数mに対する(m, n)型リンコイドの不変量に拡張することに取り組んだが、残念ながら満足のいく結果を得ることはできなかった。一方で、リンコイドとは異なる結び目の一般化にあたる、仮想結び目の研究について以下のふたつの成果が得られた。(1) 仮想結び目の基本的な不変量であるn-ねじれ数と、2k-移動と呼ばれる局所変形との間に、関係があることを見出した。すなわち、ふたつの仮想結び目が2k-移動の有限列で互いに移り合うならば、それらのn-ねじれ数の値はkを法として合同であることを示した。(2) 奇数nにわたるn-ねじれ数の和は、仮想結び目の奇ねじれ数とよばれる。この不変量は、クシイ移動と呼ばれる局所変形と対応することが知られている。この結果を踏まえ、2k-移動とクシイ移動を組み合わせて考えることにより、奇ねじれ数の2kを法とした合同類が反映する仮想結び目の幾何的な性質を明らかにすることができた。すなわち、ふたつの仮想結び目が2k-移動およびクシイ移動の有限列で互いに移り合うための必要十分条件は、それらの奇ねじれ数が2kを法として合同であることを示した。

在二维欧氏空间中拟合的 m 个周长和 n 个单位间隔的系统，其中唯一的多个点是横向双点，称为 (m, n) 型菱形图（m 和 n 均为非负）整数）。然而，假设关于交点的信息被给予每个双点。基于被称为雷德迈斯特运动的三种局部变形产生的等价关系的(m，n)型菱形图的等价类被称为(m，n)型菱形图。特别地，(1, 0)类型的hynchoid是一个纽结，从这个意义上说，hynchoid可以被认为是纽结的概括。通过去年进行的研究，我们能够将米尔纳链接不变量扩展到 (0, n) 型犀牛不变量。因此，今年我们致力于将链接的 Milner 不变量扩展为对于整数 m 大于或等于 1 的 (m, n) 型菱形不变量，但遗憾的是我们未能获得满意的结果。另一方面，在虚拟结的研究中获得了以下两个结果，它们是不同于菱形结的概括。 (1) 我们发现，虚拟结的基本不变量 n 扭转数与称为 2k 运动的局部变形之间存在关系。也就是说，我们证明，如果两个虚拟结以 2k 次运动的有限序列相互移动，则它们的 n 扭转数对模 k 是全等的。 (2) n个捻数与奇数n之和称为虚拟结的奇捻数。已知该不变量对应于称为梳状运动的局部变形。基于这个结果，通过结合考虑 2k 运动和 Kushii 运动，我们能够阐明以奇数扭转数模 2k 的同余类所反映的虚拟结的几何特性。换句话说，我们证明了两个虚拟结在 2k 运动和 Kushii 运动的有限序列中相互移动的充分必要条件是它们的奇数扭转数以 2k 为模全等。