双曲型偏微分方程式の解の構造の研究

双曲偏微分方程解的结构研究

基本信息

批准号：
04640157
负责人：
井川満
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1992
资助国家：
日本
起止时间：
1992 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

双曲型方程式の特徴の第一は特異性の伝播現象である。この性質は方程式の解の基本的なものであり、この性質を調べることが研究のキーポイントとなる。双曲型方程式の最も典型的なものである波動方程式に対しては、局所的には特異性の伝播現象は単純である。しかし、物体の外部に於ける伝播現象において、長時間後の特異性の研究は一般にはきわめて複雑な問題となる。この研究は、局所理論より推察するに、外部問題に於ける古典軌道の長時間後の性質、エルゴード性と深く関連していることが予想される。我々はこの古典軌道と特異性の関係を調べ、散乱論への応用を研究した。このためには古典軌道の性質を調べるために、ゼーター関数を導入し、それに付随した作用素のスペクトルを調べ、その位置関係により、ゼーター関数の特異性を調べた。このゼーター関数の特異性は、波動方程式の特異性の内で、周期的振舞いをするものと深い関わりがあることが、わかった。以上のことを調べるために、我々は、波動方程式の解の性質を関数解析的方法により分解・表現することが必要であった。我々はこの方法を研究・発展させ、新しい関係式と評価式を導いた。これらの研究から解った波動方程式の諸性質は非線形方程式の研究、特に非線形双曲型方程式の解の存在、その性質の研究に有効であることが解っている。これらの成果を十分に活かすには今後の非線形方程式の解の性質の研究を組織的に行なう必要を感じている。この方面の発展は今後の研究課題であろう。

双曲方程的第一个特征是奇异性的传播现象。该属性是方程解决方案的基础，研究此属性是研究的关键点。对于波动方程，最典型的双曲线方程，奇异性的传播现象在局部很简单。但是，在物体外面的传播现象中，很长一段时间后研究特异性通常是一个非常复杂的问题。从本地理论中推断出的这项研究预计将与外部问题（外部问题）中经典轨道的长期性质密切相关。我们研究了经典轨道和特异性之间的这种关系，并研究了其在散射理论中的应用。为此，引入了Zater功能来研究经典轨道的性质，并检查了与其相关的操作员的光谱，并通过其位置关系检查了Zater功能的奇异性。已经发现，该Zeter函数的奇异性与在波方程的奇异性内定期行事密切相关。为了研究上述内容，我们需要使用功能分析方法分解和表达波方程解的特性。我们研究并开发了这种方法，得出了新的关系和评估公式。从这些研究中揭示的波方程的特性对于研究非线性方程有效，尤其是在研究非线性双曲线方程溶液的存在和特性中。为了充分利用这些结果，有必要系统地研究未来非线性方程的解决方案的性质。该领域的发展可能是未来的研究主题。