環拡大と環のガロア理論

环展开和环的伽罗瓦理论

基本信息

批准号：
05640041
负责人：
永原賢
金额：
$ 0.9万
依托单位：
Okayama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1993
资助国家：
日本
起止时间：
1993 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

環拡大の研究には従来より、分離拡大、ガロア拡大など拡大を対象とした定性的方法と、拡大環を対象とした構造論-構成論的方法がある。ここでは、主としてこの方面の研究成果について述べる。[1]分離多元環、分離拡大、ガロア拡大、及びその関連分野の研究。(ア)体上の多元環及び群環はその体上の行列環の部分多元環としてとらえることができる。ここでは、行列環の部分単純多元環の分離性とtrace mapとの関係、またそれとtrace mapの像の濃度との関係を調べ、それを用いて、行列環の部分単純多元環が分離的になるための必要十分条件を与えた。これは、多元環の構造を究明するのに有効である。例えば、局所有限な群に関するBurnsideの問題に対して、その証明を見通しよくすることができる(論文1)。(イ)有限体のガロア拡大に関して、符号理論においていくつかの有益な結果を得た。有限体Fq上の線形符号の一種であるk次元のMDS符号に対し、その基本的問題の1つは、次元kを与えたとき、それに対する最大語長を決定し、最大語長のMDS符号を分類することだが、q>9のときはまだ未解決である。ここでは、q=13の場合にその分類に対し、有益な成果を得た(論文2)。[2]環拡大及びその関連分野の研究。(ア)零と異なる任意のイデアルによる剰余環が有限である環を剰余有限環という。剰余有限環の環拡大について考察し、剰余有限環の零と異なるイデアルに対してノルムを定義し、剰余有限環のイデアルの集合が高々可算個であることを示した(論文3)。(イ)環拡大のうち有用なものの多くは歪多項式環や正則環などある種の重要な環の剰余環として得られる。ここで、まず自己入射的強π-正則環のジャコブソン根基による剰余環は、強正則環上の全行列環の有限直和に対しても成り立つことを示した(論文4)。

环扩展的研究传统上包括针对扩展的定性方法，例如分离扩展和伽罗瓦扩展，以及针对扩展环的结构构造方法。在这里，我们主要讨论这方面的研究成果。 [1] 分离代数、分离扩张、伽罗瓦扩张及相关领域的研究。 (a) 域上的代数和群代数可以被视为域上矩阵环的子代数。在这里，我们将研究矩阵环的亚简单代数与迹图的可分离性，以及它与迹图的图像密度的关系，我为这提供了充分必要条件。这会发生。这对于研究多维环的结构非常有效。例如，可以轻松证明有关局部有限群的 Burnside 问题（论文 1）。 (b)关于有限域的伽罗瓦扩展，我们在编码理论中得到了一些有用的结果。对于k维MDS码（有限域Fq上的一种线性码），基本问题之一是确定给定k维的最大字长，并创建具有最大字长的MDS码。然而，当q>9时，仍然没有解决。在这里，当 q=13 时，我们获得了有用的分类结果（论文 2）。 [2] 环扩展及相关领域研究。 (a) 任何不同于零的理想的余数环都是有限的环称为有限余数环。我们考虑了有限余数环的环展开，定义了有限余数环中非零理想的范数，并表明有限余数环的理想集至多是可数的（论文 3）。 (b) 许多有用的环扩展是作为重要环（例如偏斜多项式环和正则环）的陪集环获得的。在这里，我们首先证明自射强 π 正则环的 Jacobson 根的余数环也适用于强正则环上所有矩阵环的有限直和（论文 4）。