離散モース流とその正則性解析:モース流の構成・一般臨界点解析を目指して

离散莫尔斯流及其规律性分析：针对莫尔斯流的组成和一般临界点分析

基本信息

批准号：
16654030
负责人：
菊池紀夫
金额：
$ 1.73万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

多変数変分問題主に調和解析の変分問題のMorse流「非線形放物型方程式系で規定される最急勾配流」の解析を本研究課題の一つである。M.Giaquinta & E.Giusti及びR.Schoen & K.Uhlenbeckによる調和写像の最小化写像の正則性研究を受けてMorse流(最急勾配流)を構成しその時間無限大の極限として一般臨界点解析を行うことが当面の目標である。1983年に提唱した「初期条件から始めて逐次変分汎函数を導入しその最小化函数を求めることにより近似Morse流を構成する・離散Morse流法」の数理解析を推し進めている。物理モデル:物質科学としての塑性・弾性問題の一般臨界点及び非定常Navier-Stokes方程式の数理解析を行っている。放物型偏微分方程式のRothe型差分近似偏微分方程式に対してCampanato型理論を完成した。完成したと述べたのは何度も試行・失敗を繰り返しながらCampanato型評価としては最良のものを得たと思うからである。内部・境界両評価で近似系に依存しないものであるため放物型偏微分方程式の解の構成問題に活用出来るものである。離散Morse流法を通して調和写像・m-調和写像・p-調和写像のMorse流の構成問題を扱いたい。離散Morse流にBlow-up解析を実行した線形化された差分偏微分方程式に得られているCampanato評価を適用近似解に対するCampact性を活用するものである。離散Morse流法は変分汎関数の最小化性を活用するため弱い正則性の仮定のもとで解析出来ることに利点がある。距離多様体間の調和写像変分問題に対してMorse流の構成を行った。"非正曲率"とは限らぬ多様体に対してAlexandrov型不等式解析を試みて可能となったものである。扱える多様体は球面に限ると半球であるが非正曲率多様体におけるAlexandrov型解析を追求してみたい。G.Sereginと非定常Navier-Stokes方程式の初期値問題を特殊Morrey空間で時間大域解の構成問題を扱い基本となる非定常Stokes方程式の特殊Morrey空間における正則性解析を纏めた。

这项研究的主题之一是多变量变分问题中莫尔斯流“由非线性抛物线方程组定义的最陡坡流”的分析，主要是谐波分析。 M. Giaquinta & E. Giusti 和 R. Schoen & K. Uhlenbeck 对调和映射的最小化映射规律进行研究后，构建了莫尔斯流（最陡梯度流），并将一般临界点定义为其无限时间我们的近期目标是进行分析。我们正在推进1983年提出的“离散莫尔斯流方法”的数学分析，该方法通过从初始条件开始引入连续变分泛函并找到最小化函数来构造近似莫尔斯流。物理模型：我们对材料科学中塑性/弹性问题的一般临界点和非定常纳维-斯托克斯方程进行数学分析。完成了抛物型偏微分方程的Rothe型差分近似偏微分方程的Campanato型理论。我说完成了，因为我相信经过反复的尝试和失败，我达到了最好的坎帕纳托式评价。由于它在内部和边界评估中都不依赖于近似系统，因此可以用于抛物型偏微分方程解的构造问题。我想通过离散莫尔斯方法处理谐波映射、m 谐波映射和 p 谐波映射的莫尔斯式构造问题。该方法通过将所获得的 Campanato 评估应用于通过对离散莫尔斯流进行爆炸分析而获得的线性化差分偏微分方程，从而利用 Campact 性质来获得近似解。离散莫尔斯流方法的优点是可以在弱正则性假设下进行分析，因为它利用了变分泛函的极小性。对度量流形之间的调和映射变分问题进行了莫尔斯式构造。这是通过尝试对不一定具有“非规则曲率”的流形进行亚历山德罗夫型不等式分析而实现的。当限制为球体时，可以处理的流形是半球，但我想对具有不规则曲率的流形进行亚历山德罗夫型分析。与G. Seregin一起研究了特殊Morrey空间中非定常Navier-Stokes方程初值问题的时间全局解的构造问题，并总结了特殊Morrey空间中基本非定常Stokes方程的正则分析空间。