多変数変分問題の臨界点解析・非線形最適化の数理解析

多变量变分问题的临界点分析与非线性优化的数学分析

基本信息

批准号：
14604009
负责人：
菊池紀夫
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-14604009/
关键词：
discrete Morse flow Morse (variational) flow Kashiwagi algorithm Rothe's approximation local estimate De Giorgi-Nash estimate Campanato estimate Gehring-Giaquinta-Modica higher intergability

项目摘要

研究代表者は多変数変分問題、特に調和写像・エネルギー型変分問題の一般臨界点解析を目指して研究企画を提案してきた。Morse最急勾配流を構成し、その時間無限大の極限として一般臨界点解析を行うべく「初期条件から始めて、逐次変分汎函数を導入し、その最小化函数を求めることにより、その極限としてMorse流を構成する」に思い至り、これを「離散Morse流法」として1983年に提案した。この離散Morse流の方法は「離散時間ごとで最小化性を活用出来る」点にその数理解析的特徴がある。「局所積分評価・各点評価」を実行するこの解析は所謂「大域的積分評価の有限要素解析」のそれよりは精密なものであり、離散Morse流法をMorse流の数理解析における基礎理論となすべくその整備を集中して行い離散MorseのCampanato評価などの正則性に関する基礎理論を得ることが出来た。ここで得られた数理解析を基にして非線形最適化の数値解析・実験に取り組み、小俣正朗は離散Morse流法による数値解析には収束性において変分汎関数の最小化性が顕著な働きを示すことを見出した。この間J.Jaeger(Heidelberg), J.Kacur(Bratislava)やフランスの数理解析・数値解析者達との研究討論を持つ機会に恵まれた。非線形最適化の数理解析・数値解析はその重要さにも関わらず、一般的に、統一的に研究が成されていないようである。一研究機関において各個問題に取組む研究体制のみならず国際間の連携の基に行われる研究環境成作りが大切であるとの認識が研究討論を共にした国内外の研究者の一致したものであった。エネルギー型変分問題研究では最小化写像に対して20世紀の数理解析を閉め括るような成果が得られているが、数理科学研究の代表的なものの一つであるエネルギーを扱うこの問題を研究の中心に据え、「離散Morse流法」の種々の変分問題への適用を試み、この試みを我が国から発信出来るものとしたい。当企画で得られた研究成果を生かし、国内外へ問いかける特定領域研究「非線形最適化の数理解析・数値実験」を提案出来るように努めたい。

研究人员提出了研究项目，目的是对多变量变异问题的一般关键点分析，尤其是谐波映射和能量类型的变分问题。为了构建摩尔斯最陡峭的梯度流并执行一般临界点分析作为其时间无穷大的限制，我想到的是：“从初始条件开始，介绍了顺序变异的一般函数，并且通过找到最小化的函数，将莫尔斯流程构建为极限，并在1983年提出，这是“离散的莫尔斯流动方法”。这种离散的摩尔斯方法具有其数学分析特征，因为它可以“在每个离散时间使用最小化”。进行“本地积分评估和每个点评估”的分析比所谓的“全球积分评估的有限元分析”更为精确，并且专注于准备离散的MORSE流程方法作为Morse流数学分析的基本理论的准备，并且能够获得诸如Campanato Morse campanato Morse的基本理论，例如campanato评估的基本理论。基于此处获得的数学分析，Omata Masaaki致力于非线性优化的数值分析和实验，发现最小化变异功能是使用离散Morse流量方法在数值分析中的重要函数。在此期间，我有机会与J. Jaeger（Heidelberg），J。Kacur（Bratislava）和法国数学和数字分析师进行了研究讨论。尽管其重要性，但似乎并未以统一的方式研究非线性优化的数学和数值分析。认识到，对于研究所而言，建立基于国际协作的研究环境至关重要，而不仅仅是解决每个问题的研究系统，也是从研究人员之间的国际合作的角度来解决。对能量类型的变化问题的研究取得了成果，这些结果已经关闭了20世纪最小化映射的数学分析，但我们希望重点关注这个问题，该问题涉及能源，这是最具代表性的数学科学研究之一，并试图将“离散的莫尔斯流量方法”应用于各种变体问题，从而使这种尝试从日本发送。利用通过该项目获得的研究结果，我们将努力提出一项特定的现场研究“数学分析和非线性优化的数值实验”，该研究将在国内和国际上询问。