多変数変分問題の臨界点解析・非線形最適化の数理解析

多变量变分问题的临界点分析与非线性优化的数学分析

基本信息

批准号：
14604009
负责人：
菊池紀夫
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-14604009/
关键词：
discrete Morse flow Morse (variational) flow Kashiwagi algorithm Rothe's approximation local estimate De Giorgi-Nash estimate Campanato estimate Gehring-Giaquinta-Modica higher intergability

项目摘要

研究代表者は多変数変分問題、特に調和写像・エネルギー型変分問題の一般臨界点解析を目指して研究企画を提案してきた。Morse最急勾配流を構成し、その時間無限大の極限として一般臨界点解析を行うべく「初期条件から始めて、逐次変分汎函数を導入し、その最小化函数を求めることにより、その極限としてMorse流を構成する」に思い至り、これを「離散Morse流法」として1983年に提案した。この離散Morse流の方法は「離散時間ごとで最小化性を活用出来る」点にその数理解析的特徴がある。「局所積分評価・各点評価」を実行するこの解析は所謂「大域的積分評価の有限要素解析」のそれよりは精密なものであり、離散Morse流法をMorse流の数理解析における基礎理論となすべくその整備を集中して行い離散MorseのCampanato評価などの正則性に関する基礎理論を得ることが出来た。ここで得られた数理解析を基にして非線形最適化の数値解析・実験に取り組み、小俣正朗は離散Morse流法による数値解析には収束性において変分汎関数の最小化性が顕著な働きを示すことを見出した。この間J.Jaeger(Heidelberg), J.Kacur(Bratislava)やフランスの数理解析・数値解析者達との研究討論を持つ機会に恵まれた。非線形最適化の数理解析・数値解析はその重要さにも関わらず、一般的に、統一的に研究が成されていないようである。一研究機関において各個問題に取組む研究体制のみならず国際間の連携の基に行われる研究環境成作りが大切であるとの認識が研究討論を共にした国内外の研究者の一致したものであった。エネルギー型変分問題研究では最小化写像に対して20世紀の数理解析を閉め括るような成果が得られているが、数理科学研究の代表的なものの一つであるエネルギーを扱うこの問題を研究の中心に据え、「離散Morse流法」の種々の変分問題への適用を試み、この試みを我が国から発信出来るものとしたい。当企画で得られた研究成果を生かし、国内外へ問いかける特定領域研究「非線形最適化の数理解析・数値実験」を提案出来るように努めたい。

首席研究员提出了一个研究项目，旨在进行多元变分问题的一般临界点分析，特别是调和映射和能量型变分问题。为了构建莫尔斯最陡梯度流并对其时间无限极限进行一般临界点分析，“从初始条件开始，我们引入逐次变分泛函，并通过求其最小化函数，”1983年，他提出这就是“离散莫尔斯流方法”。这种离散莫尔斯方法具有数学分析特征，即“可以对每个离散时间利用最小化性”。这种进行“局部积分评估和各点评估”的分析比所谓的“全局积分评估的有限元分析”更加精确，并且离散莫尔斯流方法被认为是莫尔斯流数学的基本理论通过集中精力研究它的发展，我们能够获得关于离散莫尔斯码坎帕纳托评估的规律性的基本理论。基于此处获得的数学分析，Masaaki Omata 进行了非线性优化的数值分析和实验，发现变分泛函的最小化在使用离散莫尔斯流方法的数值分析中起着重要的收敛作用。在此期间，我有机会与J. Jaeger（海德堡）、J. Kacur（布拉迪斯拉发）以及其他法国数学和数值分析师进行研究讨论。尽管非线性优化的数学和数值分析很重要，但似乎还没有以统一的方式进行研究。参与研究讨论的国内外研究人员一致认为，创建一个基于国际合作的研究环境很重要，而不仅仅是一个研究机构解决个别问题的研究体系。能量型变分问题的研究成果将总结20世纪最小化映射的数学分析。我想尝试将“离散莫尔斯流方法”应用于各种变分问题，并使这一尝试成为可能。从日本传播。我想利用通过这个项目获得的研究成果提出一个特定的研究领域，“非线性优化的数学分析和数值实验”，这将在国内外提出。