ステップ関数近似による非線形境界値問題の解の効率的な数値的存在自動検証法の開発

开发一种使用阶跃函数近似解决非线性边值问题的高效数值自动验证方法

基本信息

批准号：
11780240
负责人：
神澤雄智
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Shibaura Institute of Technology (2000)Waseda University (1999)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目的は、非線形楕円型偏微分方程式の境界値問題の解の数値的存在検証を従来法よりも簡便・精密・高速に行なう方法を開発することであった。11年度前半まず、Plum,Nakao,Oishiらの従来法や関連研究の現状を徹底的に調査し、その問題点を明らかにした。具体的には、Plum,Nakaoの方法は純関数解析的手法にしたがっているために、検証の全てを計算機に行わせことは本質的に不可能である。また、Oishiの常微分方程式に対する検証法は検証の途中で変数係数線形系の非同次非同次問題の解析解を利用しているが、変数係数偏微分方程式の非同次非同次問題の解析解は一般に表すことができないために、Oishiの方法を偏微分方程式系に応用することは難しいことが分かった。11年度後半 1次元境界値問題に対するステップ関数係数線形系アルゴリズムを構築した。Oishiの方法では関数空間上の点の計算機上での表現法として多項式を用いていた。これをステップ関数にしてもOishiの方法と同様に1次元境界値問題の解の数値的存在検証が可能であることを示した。本結果を国際会議1999 International Symposium on Nonlinear Theory and Its Applicationにて発表し、一定の評価が得られた。12年度しかし、ここで新たな問題が生じた。ステップ関数は四則演算や初等関数に関しては閉じているものの、積分演算を行うとステップ関数にならない。これを簡単に解決する方法は、積分結果である区分1次関数を包み込む区分ステップ区間関数を積分結果と考えることであるが、積分演算を行う度に得られる区分ステップ区間関数の幅は広がってしまう。Oishiの方法は随所に積分演算を用いており、大規模複雑な問題に対しては、最終的に得られる区分ステップ区間関数の幅は爆発してしまうため、本手法が効率的とは言い難かった。そこで、Oishiの方法で随所に現れる積分演算を1つにまとめるように同値変形を行い(積分演算を無くすことは不可能)、区間幅を最小限に抑えることができた。本結果を国際会議2000 International Symposium on Nonlinear Theory and Its Applicationにて発表し、一定の評価が得られた。

本研究的目的是开发一种比传统方法更简单、更精确、更快速的数值验证非线性椭圆偏微分方程边值问题解的存在性的方法。 2011年上半年首先，我们深入调查了Plum、Nakao、Oishi等人的传统方法和相关研究的现状，并澄清了他们的问题。具体来说，由于Plum和Nakao的方法遵循纯函数分析方法，因此基本上不可能让计算机执行所有验证。另外，Oishi的常微分方程验证方法在验证过程中使用了变系数线性系统的非齐次非齐次问题的解析解，但事实证明，Oishi的方法很难应用于系统的偏微分方程，因为的解析解不能通用地表达。 2011年下半年，我们构建了针对一维边值问题的阶跃函数系数线性系统算法。大石的方法使用多项式来表示计算机上函数空间上的点。结果表明，即使将该方法用作阶跃函数，也可以数值验证一维边值问题解的存在性，类似于大石方法。这一成果在1999年非线性理论及其应用国际研讨会上发表，获得了一定程度的好评。 2012财年然而，新的问题出现了。虽然阶跃函数在算术运算和初等函数中是封闭的，但在进行积分运算时它们不会成为阶跃函数。解决这个问题的一个简单方法是，将积分结果即包围分段线性函数的分段步长区间函数视为积分结果，但每次积分运算得到的分段步长区间函数的宽度执行增加。大石的方法全程使用积分运算，对于大规模的复杂问题，最终得到的分段步长区间函数的宽度会爆炸，因此很难说这种方法是高效的。因此，利用大石的方法，我们进行等价变换，将到处出现的积分运算合二为一（不可能消除积分运算），并且能够最小化区间宽度。这一成果在2000年国际非线性理论及其应用研讨会上发表，获得了一定程度的好评。