合流型超幾何関数の多面的研究

汇合超几何函数的多方面研究

• 批准号: 11740092
• 负责人: 松本 圭司
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1999
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1999 至 2000
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-11740092/
• 关键词: 超幾何関数; 合流; ねじれホモロジー; ねじれコホモロジー; ねじれ(コ)ホモロジー群; 交点数; 周期関係式; 漸近展開

超幾何微分方程式の線形独立な解を並べることで、超幾何微分方程式の定義域から射影空間への多価写像が得られる。この多価写像の像が対称空間でモノドロミー群がこの対称空間に作用する数論的な群になり、かつ逆写像が一価となるものがいくつか知られている。これらの例たちはいずれも合流がおきていない確定型の特異性をもつもののみである。合流型の超幾何微分方程式に関してでは起こり得ないこの特別な状況をよりよく理解するために、その逆写像の具体的な記述を代数幾何学や保形関数論でも特に重要であると考えられるものに対して寺杣氏(東大・数理)と共同で以下のように行った。3次元射影空間の3次曲面Xで分岐するcyclicな3重被覆Yに対して、そのIntermediate Jacobian J(Y)は、主偏極をもつアーベル多様体である。J(X)はあるリーマン面Cとその上のinvolutionσに関するPrym varietyとして実現できる。Prym varietyの周期を記述する微分方程式は4変数階数5のF_Dと呼ばれる超幾何微分方程式であり、線形独立な解を並べることで3次曲面のモジュライ空間から4次元複素超球への多価写像が得られる。そのモノドロミー群はZ[ω]係数のユニタリ群のレベル(1-ω)の主合同群となる。テータ関数を用いて表示されるIntermediate Jacobian J(Y)上の有理型関数をリーマン面CからJ(Y)へのある正則写像を用いてC上に引き戻すことができる。こうして得られるC上の有理型関数たちを用いて3次曲面Xからリーマン面Cを構成した際の情報を記述することができる。実際E_6型のワイル群が作用する80個のIntermediate Jacobian J(Y)の3等分点を利用して、逆写像を具体的に与えることができる。

通过排列超几何微分方程的线性独立解，我们可以获得从超几何微分方程域到射影空间的多值映射。存在几种已知的情况，其中该多价映射的图像是对称空间，单向群是作用于该对称空间的算术群，并且逆映射是单值的。所有这些例子都有明确的奇点，其中没有发生融合。为了更好地理解汇合超几何微分方程不可能出现的这种特殊情况，我们将与 Teraso 先生合作，提供其逆映射的具体描述，这在代数几何和自守函数理论中被认为特别重要。东京大学数学系），我们进行了以下研究。对于在三维射影空间中的立方表面 X 处分支的循环三重覆盖 Y，其中间雅可比行列式 J(Y) 是具有主极化的阿贝尔簇。 J(X) 可以实现为关于某个黎曼曲面 C 及其上的对合 σ 的 Prym 簇。描述 Prym 簇周期的微分方程是一个名为 F_D 的超几何微分方程，具有 4 个变量和 5 阶。通过排列线性独立解，我们可以创建从立方曲面的模空间到 4 维复数的多价映射获得超球面。单向群成为 Z[ω] 系数酉群的 (1-ω) 级的主要同余群。使用 theta 函数表示的中间雅可比 J(Y) 上的有理函数可以使用从黎曼曲面 C 到 J(Y) 的某种全纯映射拉回到 C 上。利用这样获得的C上的有理函数，可以描述从三次曲面X构造黎曼曲面C时的信息。事实上，利用E_6型Weyl群作用的80个中间雅可比行列式J(Y)的三等分点可以具体给出逆映射。

项目成果

Majima H,: "Quadratic relations for confluent hypergeometric functions"The Tohoku Mathematical Journal. 52・4. 489-513 (2000)

Majima H，：“合流超几何函数的二次关系”，东北数学杂志 52・4（2000）。