境界層方程式の数学的正当化に関する研究

边界层方程的数学论证研究

• 批准号: 10740092
• 负责人: 田中 尚人
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Fukuoka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1998
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1998 至 1999
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-10740092/
• 关键词: 境界層方程式; Navier-Stokes方程式; Euler方程式; 方程式の接合; 圧縮性流体

境界層方程式は物体のごく近くの流体の運動を記述するモデル方程式として、1904年にL.Prandtleによって提唱された。彼のアイデアは、流体が粘性の影響を受けるのは物体(固定境界)のごく近くの薄い層(境界層)に限るとして、液体の粘性係数、代表的な速度、物体の長さの間に経験的に成り立つつりあいの式からNavier-Stokes方程式をスケーリングした時の主要部分より境界層における、いわゆる境界層方程式を導くというものである。境界層方程式の数学的な解析は1960年代のK.Nickel,O.A.Oleinik,P.C.Fifeらの精力的な研究により液体が非圧縮性で定常状態にあると仮定できる場合の解の一意存在、漸近挙動といった基本的な結果がえられており、以後活発な研究が続けられ、非圧縮性定常流に関してはある程度満足できる結果がえられている。これらに関してはO.A.Oleinik/V.A.Samockhinによる最近の著書Mathematical problems of boundary layer theory(境界層理論における数学的問題)に詳しい。今回申請者が問題にしている境界層方程式の数学的正当化、すなわち境界層方程式が数学的にどのような意味でNavier-Stokes方程式を近似しているのか、という問題に関してはやはりP.C.Fifeによる非圧縮性定常流の場合に部分的な結果があるのみでほとんど手つかずの状態である。申請者は非定常流の場合に上述のスケーリングを施したNavier-Stokes方程式の線形化した方程式に対して小さいパラメータに関する一様な評価をえることができたが、本来のNavier-Stokes方程式に対してはまだ一様な評価をえるには至っておらず、ひき続き研究する予定である。

边界层方程由 L. Prandtle 于 1904 年提出，作为描述物体附近流体运动的模型方程。他的想法是，流体仅受非常靠近物体（固定边界）的薄层（边界层）中的粘度影响，并且液体的粘度系数、典型速度和物体的长度之间的关系边界层的所谓边界层方程是根据经验建立的平衡方程进行缩放时从纳维-斯托克斯方程的主要部分导出的。 K. Nickel、O. A. Oleinik、P. C. Fife 等人在 20 世纪 60 年代对边界层方程进行了数学分析，他们的能量研究揭示了当液体可以被假设为不可压缩且取得了这些基本成果，此后继续积极研究，并在不可压缩定常流动方面取得了一些令人满意的结果。 O.A.Oleinik/V.A.Samockhin 最近出版的《边界层理论的数学问题》一书中详细介绍了这些内容。关于申请人这次面临的边界层方程的数学论证，即边界层方程在数学上近似纳维-斯托克斯方程，可压缩稳定流的情况基本上没有触及，只有部分结果？ 。在非定常流动的情况下，申请人能够获得关于具有上述缩放的纳维-斯托克斯方程的线性化方程的小参数的统一评估，但是对于原始纳维-斯托克斯方程，我们还没有达到我们可以得到一个统一的评价，我们计划继续我们的研究。

项目成果

T.Iguchi,N.Tanaka and A.Tani: "On a free boundary problem for an incompressible ideal fluid in two space dimensions"Advances in Mathematical Sciences and Applications. 9(1). 415-472 (1999)

T.Iguchi、N.Tanaka 和 A.Tani：“关于二维空间中不可压缩理想流体的自由边界问题”数学科学与应用进展。