Global analysis of mathematical models with conservation law by semi-analytic methods using the elliptic functions

使用椭圆函数的半解析方法对具有守恒定律的数学模型进行全局分析

基本信息

批准号：
22K13962
负责人：
森竜樹
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Musashino University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

2022年度は主に、本研究課題の目標であった、(A)「非局所Allen-Cahn方程式（Allen-Cahn-Nagumo方程式）の２次分岐後の分岐の方向，解の安定性の解明」と(B)「非局所Fix-Caginalp方程式の大域的解構造の解明」に関する実績を得ることができた。(A)に関する実績について述べる。(A)を直接に解析するのではなく、本質的に似ている部分を持つ問題である積分制約条件付き細胞極性モデルの解析を行うことで、(A)の２次分岐分岐の方向の計算方法の見通しがついた。積分制約条件付き細胞極性モデルの解析では、大域的解構造を示す曲面のパラメータ表示を構成した。構成の際、直感的にパラメータ表示を構成すると、無限のパラメータ領域が１点に集約されるような特異点が現れるが、パラメータ空間を分けて、対称性を用いて再構成することで、特異点を持たないパラメータ表示式を導出することができた。このパラメータ表示式を応用することで(B)の２次分岐分岐の方向を合成関数の微分とパラメータ表示式の微分を用いて計算できることがわかった。なお、上記の積分制約条件付き細胞極性モデルに関する結果は論文で発表を行った。(B)に関する実績について述べる。(B)の問題の解の存在・非存在については１次元に注目したとしても、部分的な結果が約20年前に得られているのみで、解の存在・非存在の必要十分条件は技術的に難しい問題である。しかし、本研究課題で主として取り扱う楕円関数と楕円積分を用いた半解析的な手法によって、解の存在・非存在の必要十分条件を明らかにすることができた。さらにこの問題においても２次分岐が起こることを示すことができた。内容は論文でまとめ、発表した。

在2022年，我们能够获得本研究主题的主要目标，包括（a）“理解非本地的allen-cahn方程（allen-cahn-nagumo方程）的二次分支后分支的方向，并且（b）“了解非局限性固定固定方程的全球解决方案结构”，而不是直接地描述了与成就相关的（a）。通过（a）中的二次分支来分析具有积分约束的细胞极性模型，这是一个基本相似部分的分析，具有相似的部分。使用对称性重建，可以得出一个没有奇异性的参数显示方程。通过应用此参数显示公式，已经发现可以使用合成函数的差异和参数显示公式的差异来计算（b）中二次分支的方向。在论文中给出了有关具有积分约束的上述细胞极性模型的结果。描述与（b）相关的成就。即使我们关注（b）的解决方案的存在和缺失的一个维度，只有大约20年前才能获得部分结果，并且在技术上很困难，对于存在和缺乏解决方案的必要条件和缺乏解决方案。但是，可以使用椭圆函数和椭圆形积分的半分析方法来阐明存在和缺乏解决方案的必要条件，这些方法主要用于本研究主题。此外，还可以证明在此问题中发生了二次分支。内容总结在论文中并呈现。