多変数モジュラー形式の数論的, 幾何学的及びp進的応用

多元模形式的算术、几何和 p-adic 应用

基本信息

批准号：
18K03210
负责人：
山名俊介
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Osaka Metropolitan University (2022)Osaka City University (2019-2021)Kyoto University (2018)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

正則保型形式は主として、ジーゲル保型形式やU(n,n)のエルミート保型形式のような管状領域を持つ群の場合に研究されて来ました。非管状領域の保型形式があまり研究されていない理由は、Fourier展開がないことです。管状領域の正則保型形式のFourier係数にHecke作用素が作用し、L関数やGalois表現に結びついて豊富な情報をもたらすことは、一変数保型形式の理論においてよく知られています。多変数の場合にもテータ関数のフーリエ係数には二次形式の表現数が現れ、Leech格子などのEuclid格子の研究に応用されています。テータ級数をアイゼンシュタイン級数に結び付けるジーゲル・ヴェイユ公式は、二次形式論だけでなく保型表現論でも重要な役割を果たしています。筆者は本年度にU(2,1)などの非管状領域を持つユニタリ群の正則保型形式の研究を進めました。前半ではU(2,1)の重さ1のアイゼンシュタイン級数とテータ級数のジーゲル・ヴェイユ公式を証明し、両辺のフーリエ・ヤコビ係数を計算しました。後半にはU(2,1)とU(1,1)の正則保型形式に関するp進L関数を構成する研究に取り組みました。U(2,1)の保型形式とU(1,1)の保型形式の積のU(1,1)上の積分は、(多くの数学者により最近その証明が完成した)市野-池田公式によりL関数の中心値と局所積分の積になります。この等式からp進L関数を構成するには、U(2,1)の保型形式からU(1,1)の保型形式の適切なp進族を構成して、対応する局所積分を計算する必要があります。筆者は有限指標に対してp-depletionを定義して、その性質を研究し、p進体や実数体、分岐素点など様々な状況設定で局所積分を計算しました。

常规霉菌形式主要是在具有管状区域（例如siegel霉菌形式）和U（n，n）的隐居模具形式的基团中研究的。研究非管区域的霉菌保留形式的研究较少的原因是缺乏傅立叶部署。在单个变量类型形式的理论中众所周知，Hecke操作员作用于管状区域的常规类型类型形式的傅立叶系数，并与L功能和Galois表示相结合。即使在多变量的情况下，二次形式中的表示数量也会出现在Tater函数的傅立叶系数中，并且已应用于欧几里德晶格（例如水ech晶格）的研究。将TATA系列与Eisenstein系列联系起来的Siegel Weil公式不仅在二次形式主义，而且在形式性的理论中都起着重要作用。今年，作者针对具有非管区域的单一群体（例如U（2,1））对常规类型类型格式进行了研究。在上半年，我们证明了艾森斯坦系列和塔塔系列的siegel-weil公式，该系列的重量为1（2,1），并计算了双方的傅立叶 - 雅各比系数。在下半年，我们致力于构成定期保存形式的p分配l功能（2,1）和u（1,1）。 U（2,1）保存形式和U（1,1）保存形式的乘积的u（1,1）的积分是L函数的核心值和Ichino-Ikeda公式的局部积分的乘积（最近已由许多数学家证明）。要从该方程式构造P-Forward L函数，我们需要从U（2,1）类型形式的U（1,1）类型形式的适当的P-Forward家族构造，并计算相应的局部积分。作者定义了有限索引的p止动，研究了其属性，并在各种情况下计算了本地积分，例如P-Advanced字段，实数和分支基本点。