Geometric analysis for unitary transition operators

酉转移算子的几何分析

基本信息

批准号：
18K03267
负责人：
楯辰哉
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18K03267/
关键词：
量子ウォーク固有関数展開 QWフーリエ変換正値行列値測度弱極限一般固有関数展開一般フーリエ展開転送行列半古典極限正規分布１次元量子ウォーク極限分布初期状態周期的ユニタリ推移作用素半古典解析漸近挙動ユニタリ推移作用素特異連続スペクトル

项目摘要

今年度は，前年度に得られた，一般的な２状態変数コイン１次元量子ウォークに対する固有関数展開定理を用いて，量子ウォークの定める確率分布の弱極限先を記述することができないかを，主に考察した。昨年度得られた固有関数展開定理は，一般のCMV行列に対してはすでにGetztesyらにより得られている。しかし我々が昨年度得た公式は，１次元量子ウォークに対してのみ有効な公式であるが，その分非常にわかりやすい。実際，この公式はグリーン関数の単位円周上での境界値により与えられる，正値行列値測度を用いて，例えばスペクトル測度などの主要な情報を記述するものであるが，我々の得た公式群により，いくつかの例で，この正値行列値測度を具体的に計算することに昨年度成功している。それによれば，初期条件を１点に台を持つ関数とした場合の確率分布の弱極限が，正値行列値測度を用いて記述できるものと思われる。この予想は，数少ない極限定理を勘案して至ったものである。この問題に対して，同じく昨年度得られているQWフーリエ変換を用いて確率分布を積分表示して，弱極限を調べるという方針のもとで考察した。残念ながら成功はしていないものの，継続して考察すべき良い問題ではないかと考えている。また，調書の段階で考察対象としていた半古典解析的な極限定理についても考察した。昨年度までの時点で，この問題は実はかなり難しい問題であろうと考え直したため，本年度はあまり時間をかけて考察はしなかったのだが，非常に気になる問題であり，かつ重要な問題である。本年度考察したことは，数年前にも考察した初期条件の選び方の工夫である。現在考えている初期条件の選び方が良い選び方に違いないという傍証はあるのだが，残念ながらまだ進展していない。この問題も非常に重要な問題であるため，諦めずに考察を続けたい。

今年，我们将利用前一年获得的一般二态变量硬币一维量子行走的特征函数展开定理，主要研究是否可以描述量子行走定义的概率分布的弱极限。经过考虑的。去年获得的特征函数展开定理已经由 Getztesy 等人针对一般 CMV 矩阵获得。然而，我们去年得到的公式只适用于一维量子行走，但它很容易理解。事实上，这个公式使用了格林函数在单位圆上的边界值给出的正矩阵值测度来描述光谱测度等关键信息，但是我们小组去年获得的公式成功地具体计算了这个正值几种情况下的矩阵值测量。据此，当初始条件是在一点有支持的函数时，概率分布的弱极限似乎可以使用正矩阵值测度来描述。这个猜想是通过考虑一些极限定理得出的。我们基于使用 QW 傅里叶变换积分表示概率分布来检查弱极限的策略来考虑这个问题，这也是去年获得的。不幸的是，这并没有成功，但我认为这是一个值得继续考虑的好问题。我们还考虑了半经典分析的极限定理，这是工作论文阶段考虑的主题。直到去年我才重新考虑这个问题其实挺难的，所以今年我没有花太多时间去思考它，但这是一个非常有趣和重要的问题。我们今年考虑的是如何选择初始条件的想法，几年前我们也考虑过。有证据表明，我们目前考虑选择初始条件的方式是一个不错的选择，但遗憾的是尚未取得任何进展。这也是一个非常重要的问题，所以我想继续考虑，不要放弃。