Application of the method of fundamental solutions for abnormal diffusion equations in the layered medium

层状介质中反常扩散方程基本解法的应用

基本信息

批准号：
18K03438
负责人：
大江貴司
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Okayama University of Science
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

令和4年度は主として、拡散方程式に対する代用電荷法のNaiveな実装において時間刻みを小さくした場合に生ずる数値的不安定性への対処について、研究を進めた。前年度末に、Convolution Quadrature Method (CQM) を適用することにより安定性の改善の可能性があるという着想を得た。この着想を確認すべく、予備的な数値実験を行った結果、数値的に安定に計算を行うことができたたため、その理由を探るべくいくつかの観点から検討を行った。まず、ステップ毎の仮想電荷の計算に必要となる連立方程式の性質、特に行列の条件数を調べたところ、大幅に小さくなっていることが確認できた。このことが数値的不安定性の除去につながったものと考えられる。一方でCQMを用いるためには、近似解の表現として時間方向についてはシンプルな重ね合わせではなく畳み込み積分を離散化する手法を用いている。そのため、得られた数値解が拡散方程式を厳密に満たすという性質を失っている可能性がある。また、メッシュレス的な方法が持っている、時間・空間に関する計算点の自由度がかなり失われており、これらの点について改善の余地があることが判明した。なお先に述べたように、代用電荷法のNaiveな実装において仮想電荷の計算に必要となる連立方程式の行列は悪条件なものであるが、対角性は強いため、その性質を生かした安定化が図れないかについても検討中である。以上の結果について、令和4年度中の発表はかなわなかったものの、5年度の早い時期に行われる学会で発表を行う。

在2022年，我们主要进行了研究如何处理时间步骤减少时发生的数值不稳定性的研究。在上一年年底，这个想法是卷积正交法（CQM）的应用可能会提高稳定性。为了确认这一想法，我们进行了初步的数值实验，因此，我们能够执行数值稳定的计算，并进行了一些考虑以探索其原因。首先，当我们检查计算每个步骤的虚拟电荷所需的同时方程的属性，尤其是矩阵中的条件数量时，我们确认它们已经显着较小。人们认为这导致了数值不稳定的去除。另一方面，为了使用CQM，一种离散卷积积分的方法被用作近似解决方案的表达，而不是简单地叠加时间方向。因此，获得的数值解决方案可能已经失去了严格满足扩散方程的特性。此外，无网格方法所拥有的时空计算点的自由度已大大丢失，并且发现这些点有改善的余地。如前所述，在天真地实施替代电荷方法中计算虚拟电荷所需的同时方程式矩阵是不利的，但是由于其对角度很强，我们还在考虑是否通过利用其属性来实现稳定。尽管上述结果在2022财政年度没有实现，但将在2019财政年度初举行的会议上进行演讲。