Application of the method of fundamental solutions for abnormal diffusion equations in the layered medium

层状介质中反常扩散方程基本解法的应用

基本信息

批准号：
18K03438
负责人：
大江貴司
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Okayama University of Science
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

令和4年度は主として、拡散方程式に対する代用電荷法のNaiveな実装において時間刻みを小さくした場合に生ずる数値的不安定性への対処について、研究を進めた。前年度末に、Convolution Quadrature Method (CQM) を適用することにより安定性の改善の可能性があるという着想を得た。この着想を確認すべく、予備的な数値実験を行った結果、数値的に安定に計算を行うことができたたため、その理由を探るべくいくつかの観点から検討を行った。まず、ステップ毎の仮想電荷の計算に必要となる連立方程式の性質、特に行列の条件数を調べたところ、大幅に小さくなっていることが確認できた。このことが数値的不安定性の除去につながったものと考えられる。一方でCQMを用いるためには、近似解の表現として時間方向についてはシンプルな重ね合わせではなく畳み込み積分を離散化する手法を用いている。そのため、得られた数値解が拡散方程式を厳密に満たすという性質を失っている可能性がある。また、メッシュレス的な方法が持っている、時間・空間に関する計算点の自由度がかなり失われており、これらの点について改善の余地があることが判明した。なお先に述べたように、代用電荷法のNaiveな実装において仮想電荷の計算に必要となる連立方程式の行列は悪条件なものであるが、対角性は強いため、その性質を生かした安定化が図れないかについても検討中である。以上の結果について、令和4年度中の発表はかなわなかったものの、5年度の早い時期に行われる学会で発表を行う。

2020年，我们主要研究如何处理在扩散方程的代理电荷法的简单实现中，当时间步长变小时出现的数值不稳定问题。去年年底，我们想到可以通过应用卷积求积法（CQM）来提高稳定性。为了证实这个想法，我们进行了初步的数值实验，发现能够进行数值稳定的计算，因此我们从多个角度进行研究来找出原因。首先，我们研究了计算每一步虚拟电荷所需的联立方程的性质，特别是矩阵的条件数，发现它明显更小。这被认为消除了数值不稳定性。另一方面，为了使用CQM，使用离散化卷积积分的方法来代替时间方向上的简单叠加来表达近似解。因此，得到的数值解可能失去严格满足扩散方程的性质。此外，无网格方法所具有的关于时间和空间的计算点的自由度大大丧失，并且已经发现这些点还有改进的空间。如前所述，在代理电荷法的简单实现中计算虚拟电荷所需的联立方程矩阵是病态的，但对角线性质很强，因此可以利用其性质来稳定它。我们也在考虑是否可以实现这一目标。虽然我们未能在2020年期间展示上述成果，但我们会在2020年初举行的学术会议上展示它们。