２点境界値問題の解の厳密な個数と分岐現象

两点边值问题和分岔现象的精确解个数

基本信息

批准号：
19K03595
负责人：
田中敏
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Tohoku University (2020-2022)Okayama University of Science (2019)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

一次元 Henon 型方程式の境界値問題の正値対称解の一意性と多重存在性について研究を行った. 問題に含まれるパラメータが特定の狭い範囲の外にあるとき, Pohozaev 型の恒等式を応用することにより, 正値対称解の２個の存在を仮定すると, 矛盾が生じることが証明できる. 残された一意性が不明のパラメータ範囲が狭いことから, すべてのパラメータに対して正値対称解の一意性が成立すると予想されるが, 実際はそうではなく, 残された範囲について数値計算を行うと, ３個の正値対称解が見つかる. 以前から, 以上のことが判明していたが, その多重存在を示す方法を見いだせないままであった. 今回の研究により, 精度保証付き数値計算による計算機援用証明の意味で, 正値対称解の多重存在を証明することができた. 具体的には, 考えている境界値問題の左端点を満たすような初期値問題を考え, その解が考えている区間に零点をもつ, あるいは, もたないという初期値を精度保証付き数値計算によって見つけた. それにより, 零点をもつ初期値ともたない初期値の間に, 境界値問題の解となる初期値が存在することになる. この方法で, ３個の正値偶関数解を見るけることができた.三次元単位球面内の円環領域上の scalar-field 方程式のディリクレ問題について研究を行った. 領域は三次元単位球面から北極と南極を中心とする同じ大きさの小さな２つの測地球を取り除いた円環領域を考えた. そのような問題の極角にのみ既存する正値解の存在性について考察した. 考えている領域は赤道について対称なので, 問題は赤道で対称な解をもち得る．方程式の非線形項の増大度と赤道で対称な解及び非対称な解の一意性と多重存在性についての関係性を明らかにした.

我们研究了一维 Henon 型方程边值问题的正值对称解的唯一性和多重存在性，当问题中包含的参数超出特定的窄范围时，应用 Pohozaev 型恒等式。可以证明，如果假设存在两个正值对称解，就会出现矛盾。由于唯一性未知的剩余参数范围很窄，预计正值对称解的唯一性对于所有参数都成立，但实际上情况并非如此，并且当对剩余范围进行数值计算时，发现了三个正值对称解。澄清的是，目前还没有找到证明正值对称解多重存在的方法，通过这项研究，我们用有保证的数值计算证明了计算机辅助证明意义上的多重正值对称解的存在性。具体来说，我们能够证明这一点。我们考虑一个满足我们所考虑的边值问题的左端点的初值问题，并使用保证精度的数值计算来找到我们所考虑的区间内其解有零或不零的初始值。因此，存在一个初值，即有零点和无零点的初值之间的边值问题的解，通过这种方法，我们可以在三维内的复曲面区域上找到三个正偶函数解。单位球体我们对标量场方程的狄利克雷问题进行了研究，我们考虑了通过从三维单位球体中去除以北极和南极为中心的两个相同大小的小测地区域而获得的环形区域。存在仅在极角处存在的正解。由于所考虑的区域关于赤道对称，因此该问题可以具有关于赤道对称的解。阐明了方程中非线性项的增大程度与赤道对称解和非对称解的唯一性和多重存在性之间的关系。