Research on the eigenvalues and the eigenfuctions of elliptic partial differential operators with applications to nonliear problems

椭圆偏微分算子的特征值和特征函数及其在非线性问题中的应用研究

基本信息

批准号：
19K03588
负责人：
壁谷喜継
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Osaka Metropolitan University (2022)Osaka Prefecture University (2019-2021)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は、球対称解において不完全分岐を起こすことが知られている（過去の私の研究成果）球面帽上の非線形楕円型偏微分方程式の Dirichlet 問題の正値解について研究し、Legendre の陪関数の性質を駆使して、非球対称な固有関数に対応する固有値の漸近的な挙動をまず解明した。その後、非球対称な固有関数の周りでの分岐解析を行い、非球対称な固有関数に関しては、定数解に近い解からの局所分岐が起こっていることを解明した。これにより、球面帽領域での不完全分岐は球対称解のみで起こることが解明できた。また、同様な解析を、ユークリッド空間内の球における非線形楕円型偏微分方程式の第三種境界値問題にも適用した。この場合も、球対称解は不完全分岐を起こすことが知られている（過去の研究成果）が、Bessel 関数の性質を駆使した非球対称な固有関数の周りでの分岐解析により、球面帽領域で解明できたことと同様に、定数解に近い解からの局所分岐が起こっていることを解明した。但し、第三種境界条件のパラメータは、Neumann 境界条件に近い場合に限られる。これらの結果は、線形化固有値問題を精密に解析し、特殊関数の性質を駆使することによって得られたものである。これらの研究成果は、国内で開催された国際研究集会で１度、国内集会で複数回講演発表を行ったが、残念ながら今年度中に学術誌に投稿するまでは至らなかった。なお、本年発表の研究内容は、スイス・バーゼル大学の Catherine Bandle 名誉教授と明治大学総合数理学部の二宮広和教授との共同研究によるものである。

今年，我们将研究球冠上非线性椭圆偏微分方程狄利克雷问题的正解，已知该问题会导致球对称解不完全分岔（我过去的研究结果），并通过充分利用依赖函数的性质，我们首先阐明了非球对称特征函数对应的特征值的渐近行为。随后，我们对非球对称本征函数进行了分岔分析，发现非球对称本征函数会出现与常解接近的解的局部分岔。这表明球冠区域的不完全分叉仅发生在球对称解中。类似的分析也适用于欧几里得空间中球体上非线性椭圆偏微分方程的第三类边值问题。在这种情况下，也知道球对称解会导致不完全分岔（过去的研究结果），但是通过充分利用贝塞尔函数的性质的围绕非球对称本征函数的分岔分析，可以类似于在域中得到澄清后，我们澄清了接近恒定解的解会发生局部分叉。然而，第三类边界条件的参数仅限于接近诺依曼边界条件的情况。这些结果是通过精确分析线性化特征值问题并充分利用特殊函数的性质而获得的。这些研究成果曾在日本举办的国际研究会议上发表过一次，并在国内会议上多次发表，但遗憾的是今年内没有提交到学术期刊。今年发表的研究成果是瑞士巴塞尔大学名誉教授凯瑟琳·班德尔 (Catherine Bandle) 和明治大学综合数学学院 Hirokazu Ninomiya 教授共同研究的结果。