Loewner theory on deformation of universal covering maps

万能覆盖图变形的Loewner理论

基本信息

批准号：
19K03519
负责人：
柳原宏
金额：
$ 1.91万
依托单位：
Yamaguchi University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K03519/
关键词：
universal covering Loewner chain evolution family Julia's lemma distortion estimate extremal functions half plane capacity 等角写像普遍被覆写像 Loewner equation レブナー方程式変型理論核収束定理 Fuchs 群双曲計量複素解析レブナー理論

项目摘要

レブナー理論とは，複素平面内の単連結領域で双曲的なものの時間発展による変形を取り扱うものであり，対応する単位円板からの等角写像の変形を微分方程式で記述，制御することを可能とする. 理論自体は２０世紀初頭に導入され古典的と見做されていたが，２１世紀に入り統計物理との関係が見出され，現在活発に研究が行われている．本研究課題の先行研究により, レブナー理論において取り扱う対象である領域が単連結に限られるという従来の制約を取り外し，多重連結領域まで拡張が行えることが示されている．ただしこの場合，取り扱う写像として等角(単射かつ正則)写像から, 普遍被覆写像という高次な対称性を持ち複雑な写像に変更をする必要がある.当該年度においてはレブナー鎖を取り扱う際に必須のツールである，角微分係数に関する Julia の補題について精密化, 及び増大度評価から歪曲評価への変更を行うことに成功した．stochastic なレブナー理論においては，上半平面における半平面容量という等角不変量が重要な役割を果たすが，これの単位円板での対応する量が角微分係数であるから，これからの応用が期待できると考えている．またレブナー鎖に付随する evolution family の連続性について，従来は時間に関する正規化と呼ばれる強い微分可能性を課してきたが，これを理論構築が可能である限りにおいてどこまで仮定を緩めることができるかについて考察を行い，連続 evolution family という新しいクラスを提案することが出来た．そして family がこのクラスに属す為の必要条件や十分条件について各種の結果を証明し，まとめることができた．基本的であるが従来はあまり考察が行われていなかった部分について貢献が出来たと考えている．

洛布纳理论处理复杂平面中双曲、单连通区域由于时间演化而产生的变形，并使用微分方程描述和控制相应单位圆盘的共形映射的变形。该理论本身是在 20 世纪初期提出的。世纪被认为是经典，但在 21 世纪发现了与统计物理学的关系，目前正在积极进行研究。先前对该研究主题的研究表明，可以消除Loebner理论处理的域仅限于单个连接的传统限制，并将其扩展到多个连接域。然而，在这种情况下，有必要将映射从共形（内射和正则）映射更改为具有高阶对称性的复杂映射，称为通用覆盖映射。我们成功地改进了关于角度导数的朱莉娅引理，这是一个重要工具，将评价从增长评价转变为扭曲评价。在随机Löbner理论中，上半平面半平面电容的保形不变量起着重要作用，并且由于单位圆盘中的相应量是角度导数，所以我们可以期待未来的应用。完毕。另外，对于与Löbner链相关的进化族的连续性，传统上强加了一种被称为相对于时间的归一化的强可微性，但只要可以构建理论，这种假设可以放松到什么程度经过一番考虑，我们提出了一个新的类别，称为持续进化家族。然后我就能够证明和总结关于家庭属于这一类的充分必要条件的各种结果。我相信我能够为过去没有被太多考虑的基本领域做出贡献。