Possibility of localization methods for inverse problems of time dependent problems

时间相关问题的反问题的定位方法的可能性

• 批准号: 19K03565
• 负责人: 川下 美潮
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Hiroshima University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K03565/
• 关键词: 時間依存型逆問題; 局所化; 空洞推定; 介在物推定; 接合境界問題; 漸近解による方法

本研究の目標は、時間に依存した微分方程式で記述される逆問題を囲い込み法により調べる際に現れる漸近挙動の解析に対する「局所化」の可能性の考察にある。逆問題では観測データから定められた「指示関数」と呼ばれる関数の解析を通じて媒質内部の情報を得ようとする。この問題はHelmholtz方程式におけるパラメータを純虚数にした定常問題の基本解の漸近挙動を調べる問題に帰着させるが、この方法で得られた結果は、基本解の一部の情報しか用いていない様に見える。これが正しければ、必要となるべき部分だけを取り出せるような解析を行えば、問題の局所化が出来るはずである。これまでの基本解をそのまま用いる解析は上記の「局所化」については全く考慮していないことを意味している。そこで、基本解から逆問題の解析に必要と思われる部分のみを取り出せるか、もしそれができないのなら、その理由を解明したいというのがこの研究の目標である。この問題について、令和3年度までに次が分かった。(i) 一様な媒質の中にノイマン型（ロバン）境界条件に従う穴とディリクレ境界条件に従う穴が混在する場合（以下、混在型という）、最短の長さを与える箇所がどちらかの穴に限定されている場合は、単一の境界しかない既存の場合と同じ方法で議論できる。(ii) (i)のノイマン型境界条件を消散項付きの境界条件に拡張できる。(iii) 混在型で、最短の長さを与えている穴がどちらの境界条件を満たしているかが分からない場合、ノイマン型境界条件の境界は3回微分可能、ディリクレ境界条件の方は4回微分可能な場合には漸近解を用いて指示関数の漸近挙動を求めた。令和4年度はこれまでの研究で得た上の(i)-(iii)についての証明の細部の検証を行い論文投稿の準備を行った。さらにこれらの結果の紹介を行った研究発表についての解説をProceedingsに投稿した（掲載受理された）。

本研究的目的是考虑使用封闭方法研究时变微分方程描述的逆问题时出现的渐近行为分析的“局部化”可能性。逆问题试图通过分析由观测数据确定的称为“指示函数”的函数来获取有关介质内部的信息。这个问题被简化为研究稳态问题基本解的渐近行为的问题，其中亥姆霍兹方程中的参数被设为纯虚数，但用这种方法获得的结果似乎只使用了部分出现基本解决方案的信息。如果这是正确的，我们应该能够通过仅提取必要部分的分析来定位问题。使用目前为止的基本解决方案进行分析意味着根本没有考虑上述“本地化”。因此，本研究的目的是找出是否可以从基本解中仅提取分析逆问题所必需的部分，如果不可能，则找出原因。关于这个问题，2021财年发现了以下情况。 (i) 当服从诺伊曼型（洛班）边界条件的空穴和服从狄利克雷边界条件的空穴共存于均匀介质中时（以下简称混合型），给出最短长度的点是其中之一有限的情况可以用与单一边界的现有情况相同的方式进行论证。 (ii) (i) 中的诺依曼边界条件可以扩展到具有耗散项的边界条件。 (iii) 在混合型中，如果不知道给出最短长度的孔满足哪种边界条件，则具有诺依曼型边界条件的边界是三次可微的，具有狄利克雷边界条件的边界是四次可微的当可微分时，指示函数的渐近行为是使用渐近解确定的。 2020财年，我们验证了通过先前研究获得的上述（i）至（iii）证明的详细信息，并准备提交论文。此外，我还提交了一份对研究报告的解释，该报告将这些结果介绍给《会议录》（已被接受发表）。

项目成果

Asymptotics of some function corresponding to refraction phenomena arising in inverse problems for wave equations in at two-layered medium

两层介质中波动方程反问题中折射现象对应的函数的渐近性

• 发表时间: 2019
• 作者: Yamamoto Masakazu;Sugiyama Yuusuke;川下美潮
• 通讯作者: 川下美潮

Finding obstacles in the below side of two layered media by the enclosure method

通过封闭法寻找两层介质下侧的障碍物

• 发表时间: 2021
• 作者: Ikehata;M.;Kawashita;M. and Kawashita;W.;川下美潮・川下和日子;Mishio Kawashita;Mishio Kawashita;川下美潮
• 通讯作者: 川下美潮

Inverse problems for wave equations with the Dirichlet and Neumann cavities

具有狄利克雷和诺依曼腔的波动方程反演问题

• 发表时间: 2022
• 作者: Ikehata;M.;Kawashita;M. and Kawashita;W.;川下美潮・川下和日子;Mishio Kawashita
• 通讯作者: Mishio Kawashita

On finding a buried obstacle in a layered medium via the time domain enclosure method in the case of possible total reflection phenomena

在可能出现全反射现象的情况下，利用时域包围法寻找层状介质中埋藏的障碍物

• DOI: 10.3934/ipi.2019043
• 发表时间: 2019
• 期刊: Inverse Problems and Imaging
• 影响因子: 1.3
• 作者: Ikehata;M.;Kawashita;M. and Kawashita;W.
• 通讯作者: W.

Enclosure method for inverse problems with the Dirichlet and Neumann combined case

Dirichlet 和 Neumann 组合情况反问题的封闭方法

• 发表时间: 2023
• 期刊: Practical inverse problems and their prospects in Book series "Mathematics for Industry"
• 作者: 下村勝孝;Mishio Kawashita and Wakako Kawashita
• 通讯作者: Mishio Kawashita and Wakako Kawashita