楕円型偏微分方程式の解の対称性と非対称性

椭圆偏微分方程解的对称性和不对称性

• 批准号: 20K03686
• 负责人: 梶木屋 龍治
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Osaka Electro-Communication University (2022)Saga University (2020-2021)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03686/
• 关键词: Moore-Nehari; nodal solution; 常微分方程式; 境界値問題; ２回常微分方程式; 対称解; 非対称解; 半線形楕円型方程式; 変分法; ラグランジェ汎関数; 楕円型偏微分方程式; 解の対称性; 解の非対称性

1. 2階常微分方程式の1種であるMoore-Nehari 微分方程式の境界値問題において, 零点を持つ解の研究を行った. 区間(-1,1)において両端で 0ディリクレ境界条件を満たす解の存在についての研究である. 解の対称性と非対称性に注目し, 指定された個数の零点を持つ解であり, 対称な解と非対称な解の存在を証明した. 従来では, (-1,1)区間における零点の個数を指定し, そのような零点の個数を持つ解の存在を証明する結果が主流であった. しかし, 本研究では, さらに詳しく, 与えられた自然数の組(m,n)に対して, 区間(-1,0)における零点の個数がm個であり, 区間(0,1)における零点の個数がnであるような解の存在を証明している. これは, 従来知られている結果よりも強い結果をもたらしている. この結果によって, 解の詳しい性質が調べられる. この結果は解空間が非常に複雑であることを意味する. 従来では, 区間(-1,1)に指定された個数の零点を持つ解の存在に関する研究がほとんどであり, 私の研究のような結果はなかった. 従って, 本研究はきわめて独創的な研究であり, 解空間の多様性を表すものである.2. バナッハ空間において, Symmetric mountain pass lemma を適用すると, 非有界な臨界値の列が存在することが証明できる. この臨界値に対応する臨界点の列も非有界になるかという問題が考えられる. この問題に対して, 可分で無限次元のヒルベルト空間において, 汎関数に対して, 臨界値は非有界であるが, 臨界点の集合は有界になるような汎関数の例を作った. 従って, Symmetric mountain pass lemma から得られる臨界値に対して, 対応する臨界点の集合は一般に非有界とは限らないことを明らかにした.

1. 在二阶常微分方程 Moore-Nehari 微分方程的边值问题中，我们研究了零点解，我们找到了两端满足 0 狄利克雷边界条件的解。区间 (-1,1) 本研究重点关注解的对称性和不对称性，并证明了对称解和非对称解的存在性，即具有指定数量的零的解。过去的主流结果是指定(-1,1)区间内零的个数，并证明具有这样多个零的解的存在性。对于自然数集合(m,n)，区间 (-1,0) 中零的数量为 m，这证明了区间 (0,1) 中零个数为 n 的解的存在性。这个结果比之前已知的结果更强，这个结果意味着解空间非常复杂。大多数研究都集中在区间 (-1, 1) 内具有指定数量的零的解的存在性上，但没有与我的研究类似的结果。因此，本研究具有极强的原创性，体现了解空间的多样性。 2．在Banach空间中应用对称山口引理时，我们发现存在一个无界临界值序列。我们可以证明临界点序列。对应于这个临界值也是无界的 对于这个问题，在可分离的无限维希尔伯特空间中，对于泛函，我们创建了一个函数的例子，其中临界值是无界的，但临界点集合是有界的，因此，对于从对称山口引理获得的临界值，相应的临界点集合是 已经证明：一般来说，它不一定是无界的。

项目成果

Moore-Nehari 微分方程式の解の分岐

Moore-Nehari 微分方程的分支解

• 发表时间: 2022
• 作者: R. Kajikiya

Symmetric and asymmetric nodal solutions for the Moore–Nehari differential equation

• DOI: 10.2969/jmsj/86168616
• 发表时间: 2021-12
• 期刊: Journal of the Mathematical Society of Japan
• 影响因子: 0.7
• 作者: R. Kajikiya

Faculty of Basic Sciences/Keimyung University(韓国)

基础科学学院/启明大学（韩国）

劣線形Moore-Nehari 方程式の解の分岐

次线性 Moore-Nehari 方程解的分岔

• 发表时间: 2023
• 作者: 河邊 淳;山田直貴;Michinori Ishiwata;R. Kajikiya;河邊 淳;R. Kajikiya
• 通讯作者: R. Kajikiya

劣線形楕円型方程式の無限に多くの小さな解の存在

次线性椭圆方程无穷多个小解的存在性

• 发表时间: 2021
• 作者: 梶木屋 龍治