非線形楕円型方程式の解の構造の研究

非线性椭圆方程解的结构研究

• 批准号: 05740106
• 负责人: 梶木屋 龍治
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: University of Miyazaki
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740106/
• 关键词: 楕円型方程式; 球対称解; 解の零点

ラプラス作用素と非線形項から成る半線形楕円型方程式をn次元ユークリッド空間において考える。このとき球対称解の存在とその漸近挙動についての詳しい結果が得られた。1.非線形項がf(u)=|u|^<p-1>u(|u|^<p-1>u(|u|【greater than or equal】1),=|u|^<q-1>u(|u|<1),(1<p<(n+2)/(n-2)<q)の形をしている場合を研究した。このとき、すべての球対称解は|x|→∞のとき(i)c|x|^<-(n-2)>または(ii)±c^*|x|^<-2/(q-1)>の様に減衰することが解った。さらに任意の非負整数kに対して0【less than or equal】|x|<∞に、ちょうどk個の零点を持ち(i)の様に減衰する解と(ii)の様に減衰する解の両方が存在する。この結果は、J.Differential Equationsに発表した。2.上記の非線形項よりさらに一般的な非線形項を扱い半線形楕円型方程式のディリクレ問題をn次元の球、円環領域、球の外部、R^nにおいて研究した。このとき任意の非負整数kに対してちょうどk個の零点を持つ球対称解の存在を証明した。この結果は球対称解が存在するための非線形項に対する、従来知られていた十分条件を緩くしている。Adv.Math.Sci.Appl.に発表予定である。3.今後は解の一意性に関する問題(kを任意に固定するとき、ちょうどk個の零点を持つ球対称解はただ一つか)について研究する予定である。また非対称解が少なくとも一つ存在するか、無限に多く存在するか、さらに解空間の構造はどのようなものかということについて調べる予定である。

我们考虑一个由拉普拉斯算子和 n 维欧几里德空间中的非线性项组成的半线性椭圆方程。此时，获得了关于球对称解的存在性及其渐近行为的详细结果。 1.非线性项为f(u)=|u|^<p-1>u(|u|^<p-1>u(|u|【大于或等于】1),=|u|^<q-1>u(|u|<1),(1<p<(n+2)/(n-2)<q) 则所有球对称解 | x|→结果发现，在 ∞ 处，它衰减为 (i)c|x|^<-(n-2)> 或 (ii)±c^*|x|^<-2/(q-1)> 此外，对于任何非负整数 k，0 [小于大于或等于】|x|<∞，则存在恰好有 k 个零且像 (i) 那样衰减的解和像 (ii) 那样衰减的解。这个结果是 J.Differential。 2.在n维球面、环形区域和球外研究半线性椭圆方程的狄利克雷问题，使用比上述非线性项更一般的非线性项证明了球对称解的存在性。对于任何非负整数 k，恰好有 k 个零。该结果证实了先前已知的球对称解存在的非线性项的充分条件。 3. 将来我们将讨论解的唯一性问题（当k任意固定时，只有恰好k个零的球对称解）我们还计划研究是否存在至少一个非对称解或无穷大。不对称解的数量，以及解空间的结构是什么。

项目成果

Ryuji Kajikiya: "Nodal solutions of superlinear elliptic equations in symetric domains." Advances in Mathematical Sciences and Applications. 発表予定.

Ryuji Kajikiya：“对称域中超线性椭圆方程的节点解。”数学科学与应用进展。

Ryuji Kajikiya: "Existence and asymptotic behavior of nodal solutions for semilinear elliptic equations." J.Differential Equations. 106. 238-256 (1993)

Ryuji Kajikiya：“半线性椭圆方程节点解的存在性和渐近行为。”