Advancement in viscosity solution theory: asymptotic and boundary value problems

粘度解理论的进展：渐近问题和边值问题

基本信息

批准号：
20K03688
负责人：
石井仁司
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Tsuda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03688/
关键词：
関数方程式粘性解漸近問題境界値問題退化楕円型方程式

项目摘要

前年度までの研究を基盤として、粘性解理論の新展開を図り、完全非線形偏微分方程式に対する漸近問題と境界値問題を中心に理論と応用の両面で粘性解研究を推進した。ハミルトン・ヤコビ方程式の連立系に対する割引率消去問題の研究を進め次のような成果を得た。割引率消去の極限に於ける連立系の粘性解の（部分列を取ることなく）全列収束が成り立つためには連立系の未知関数に関する凸性が必要であることを研究論文として出版した。割引率消去における凸性の必要性についての成果をより正確に言えば、未知関数に関する凸性を持たない連立系の例を挙げ、この例に於いて割引率消去の極限で粘性解が全列収束しないことを示した。この様な例はB. Ziliottoの論文に於いて陰に示されていたが、本研究では全列収束が成立しない見通しの良い新しい例を構成した。境界値問題については、２次元ユークリッド平面における角のある領域に対する非線形ノイマン境界条件を持つ完全非線形退化楕円型境界値問題の研究を進めた。これまでの研究の詳細を再点検し、2次元平面に限定して粘性解に対する比較原理が成立するようなより広いクラスの境界条件を探求したが決定的な結論に至っていない。部分ラプラス(truncated Laplace)作用素を主要項とする微分方程式に対する粘性解と関連する積分方程式についての研究を行った。部分ラプラス作用素におけるラプラス作用素を分数冪ラプラス作用素に置き替えた方程式を対象に据え、非負粘性解の零集合の構造を明らかにした。この成果は専門雑誌に掲載決定している。

基于上一年的研究，我们开发了新的粘度解决方案理论，并在理论和应用方面促进了粘度解决方案研究，重点是渐近问题和边界价值问题，用于完全非线性的部分部分微分方程。我们一直在研究汉密尔顿 - 雅各布方程联盟系统的折现率消除问题，并取得了以下结果。已经发表了一份研究论文，以表明与联盟系统的未知功能有关的凸性对于粘性解决方案的粘性解决方案必须以消除折现率的限制融合（不采取子序列）。更准确地说，给出了消除折现率的凸度的结果，这是一个没有凸性功能的联盟系统的示例，表明在此示例中，粘性解决方案不会以消除折现率的消除限制在整个序列中收敛。 B. Ziliotto在论文中显示了这样的示例，但是这项研究构成了一个新的例子，其前景很好，即不会建立所有序列的收敛性。关于边界值问题，我们研究了二维欧几里得平面中角区域的非线性诺伊曼边界条件的完全非线性退化边界值问题。我们重新检查了先前研究的细节，并探讨了更广泛的边界条件，其中通过将其限制为二维平面来确定粘性解决方案的比较原理，但尚未达到明确的结论。我们对粘性解决方案和相关的积分方程进行了研究，以部分截断的拉普拉斯操作员作为其主要术语。部分拉普拉斯操作员中的拉普拉斯操作员被分数拉普拉斯操作员取代的方程式用于澄清零阴性粘性溶液的零集结构。该结果已决定在专业杂志上发表。