対称空間上のシュレディンガー作用素に対する幾何学的散乱理論

对称空间上薛定谔算子的几何散射理论

基本信息

批准号：
20K03664
负责人：
貝塚公一
金额：
$ 1.83万
依托单位：
Nippon Medical School
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

昨年度の研究で得た、非コンパクト型対称空間上のディラック作用素の連続スペクトルの決定と、いくつかの特別な型の非コンパクト型対称空間上におけるディラック作用素の一様レゾルベント評価について、「日本数学会年会（2023年3月、函数解析学分科会）」において研究成果の報告を行った。また、非コンパクト型対称空間上のシュレディンガー作用素に対する一般化固有関数の無限遠での漸近解析について研究した。先行研究の論文Kaizuka (J.Funct.Anal.(2019))では、レゾルベントの漸近展開から一般化固有関数の漸近展開を導き、幾何学的散乱行列を考察した。先行研究では、非コンパクト型対称空間を動径方向にコンパクト化して、正則な点からなる球面の一部を無限遠と考えて幾何学的散乱行列と漸近展開を考察した。定量的なノルム評価に応用するには十分な解析ではあったが、非コンパクト型対称空間が持つ幾何学的な特異性を全て反映したものではなかった。そこで、非コンパクト型対称空間のMartinコンパクト化から得られる無限遠境界に関して、シュレディンガー作用素の一般化固有関数の漸近挙動を解析した。議論の途中で漸近解析の議論に一部形式的な部分があるが、結果としてMartin境界上で定義された（ある種の）幾何学的散乱行列を明示的に構築することができた。新たに得られた幾何学的散乱行列は、先行研究で得られていた散乱行列を正則な点からなる球面上からMartin境界上に連続拡張した作用素となることも分かった。新たに得られた散乱行列の幾何学的な性質については研究継続中である。

我们在“日本数学学会年度会议（2023年3月，功能分析小组委员会）”上报道了研究结果，以确定从去年的研究中获得的非紧凑型对称空间的连续光谱，以及对多种特殊类型的非构造对称性空间的统一分辨率的评估。我们还研究了非紧凑型对称空间的Schrödinger操作员在无穷大的广义本征函数的渐近分析。在先前的研究论文Kaizuka（J.Funct。Anal。（2019））中，我们从已解决的IETY的渐近扩张中得出了广义本本征的渐近扩展，以检查几何散射矩阵。在先前的研究中，我们通过使非紧凑的对称空间径向紧凑，考虑了几何散射矩阵和渐近扩展，并考虑了由常规点组成的球形表面的一部分。尽管该分析足以应用定量规范评估，但它并未反映非紧凑型对称空间的所有几何奇异性。因此，我们分析了Schrodinger操作员广义特征功能的渐近行为，内容涉及从非连接对称空间的Martin压实获得的无限边界。在讨论的中间，关于渐近分析的讨论中有一个形式的部分，但是结果，我们能够明确构建在马丁边界上定义的几何散射矩阵。还已经发现，新获得的几何散射矩阵是一个操作员，该操作员连续扩展了从先前的研究中从由常规点组成的球形表面获得的散射矩阵，该矩阵由常规点组成到马丁边界。新获得的散射矩阵的几何特性正在进行中。