On embedded resolution of singularities for three dimensional algebraic varieties

三维代数簇奇点的嵌入解析

• 批准号: 20K03546
• 负责人: 川ノ上 帆
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Chubu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03546/
• 关键词: 代数幾何学; 特異点解消; 正標数; IFP

本研究の主題は正標数における特異点解消，特に3次元多様体の埋め込み特異点解消である．正標数における特異点解消の問題は，非埋め込みの場合は3次元まで，埋め込みの場合は2次元までしか解決しておらず，全ての次元で解決している標数零の場合とは大きく状況が異なる．特に3次元埋め込みの場合は未だ特筆すべき結果は得られておらず，この分野で最優先の課題と目されている．本研究者はIFPというプログラムを提唱し，これを推進する形で上記の問題に取り組んでいる．令和 3--4 年度は2次元の場合の手法を拡張して3次元の場合の研究を推進すること, 特に正標数3次元単項型の場合に機能する単項型不変量を見い出すことが当初からの目標であった．コロナ禍の影響で本研究計画の前半がひどく遅れており予定通りとはいかなかったが，概ね上記の方針に沿って研究を行った．3次元の場合に2次元の場合と同様の観点から解析を進めようとすると，爆発の中心に任意性が現れる点や配置のバリエーションが大量になる点などが3次元の場合の困難として挙げられる．正標数の爆発に特有の現象であるMoh-Hauserの跳躍現象をどう制御するかも重要な問題である．我々は2次元の場合は跳躍現象によらず減少する指標を導入する方式と跳躍現象の漸近的な挙動を解析する方式の2通りの解決法を提示した．しかし，3次元においてはいずれの方法でもこの部分を克服できていない．共同研究者の松木氏と議論を重ねて以前よりは進展した知見を得たが, 結果が限定的であり状況設定もかなり複雑なので，研究を公表できる形に持っていくには更に時間が必要である．以上のように，令和4年度は一定の進展はあったものの残念ながら部分的であった．なお，リスボンで開催された研究会，ウィーン大学などで関連する問題についての講演を行った．

这项研究的主题是消除正表示奇异性，特别是消除三维流形中的奇异性。在非填充情况下仅在3D中解决奇异性分辨率的问题，而在2D中，嵌入的问题与零靶标的嵌入情况有很大不同，这在所有维度中都可以解决。特别是，3D嵌入尚未取得任何值得注意的结果，并且被认为是该领域的首要任务。该研究人员提出了一个名为IFP的计划，并正在研究上述问题，以促进该计划。在2020-4财年，我们的目标是扩展2D病例促进3D病例研究的方法，并在阳性3D一单元类型的情况下找到尤其是功能功能的一元不变剂。由于COVID-19大流行的影响，该研究计划的前半部分非常延迟，没有按计划进行，但是这项研究是按照上述政策一致的。当试图从与2D情况相同的角度进行分析时，在3D的情况下，困难包括爆炸中心出现任意性和放置大量变化的点。控制Moh-Hauser跳跃现象也是一个重要的问题，这是一种阳性表示爆炸所特有的现象。在二维案例的情况下，我们提出了两种解决方案：其中一个不跳跃的指数减少，并且分析了跳跃的渐近行为。但是，在3D中，这些方法都没有被克服。我们一直在与合作者Matsuki讨论并获得比以前更多的高级知识，但是结果是有限的，情况非常复杂，因此将研究将研究带入可以发表的方式需要更多的时间。如上所述，尽管在2022财政年度取得了一定程度的进展，但不幸的是，这是部分的。此外，他在里斯本和维也纳大学举行的研究小组的相关问题讲座。