Inverse problems for hyperbolic partial differential equations on Lorentzian manifolds

洛伦兹流形上双曲偏微分方程的反问题

• 批准号: 20J11497
• 负责人: 高瀬 裕志
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-24 至 2022-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J11497/
• 关键词: 逆問題; 双曲型偏微分方程式; 幾何解析; ローレンツ多様体; 波動方程式; 逆問題; 双曲型偏微分方程式; 幾何解析; ローレンツ多様体; 波動方程式

まず空間二次元における波動方程式のコーシー問題を考察した．時間軸も含めた3次元ユークリッド空間上の円柱面に斉次コーシーデータを与えたときのコーシー問題に対し，解の一意性が破綻する非自明な解が無限個存在することを証明した．円柱面の近傍の有界な円環領域を加算無限個に分割し，ベッセル関数の漸近解析と１の分割を用いて構成的に証明した．さらに構成した無限個の非一意解が，光学迷彩の一種であるクローキング技術に応用できる可能性を示唆した．次に時間依存する係数を含む一階の非退化双曲型偏微分方程式の波源項決定逆問題及び係数決定逆問題に対し，大域リプシッツ型安定性を証明した．係数が生成するベクトル場に対し散逸性という概念を新たに導入しカーレマン評価を確立した．しかしながら本成果は係数の時間依存性に強い仮定を課しており，これを取り除けるか検証することは今後の課題である．また主要部の係数が時間のみに依存する一階の退化双曲型偏微分方程式に対し，カーレマン評価を確立し可観測性評価を証明した．方程式及びその解を正則性を保ったまま時間負方向へ拡張することで，退化型方程式に対しても大域カーレマン評価を確立する手法を開発した．最後に主要部が連立する強連立型の一階の対称双曲型偏微分方程式に対し，カーレマン評価を確立し可観測性評価を証明した．もともと二階の方程式に対し用いられる第二パラメーターを導入することで大域カーレマン評価を確立し，強連立型方程式においても従来の手法が適用できることを解明した．

首先，我们检查了空间二维中波方程的凯奇问题。我们已经证明，当在包括时轴在内的三维欧几里得空间中，将圆柱形的库奇数据（包括时间轴）赋予圆柱形表面时，有无限的无限非明显解决方案引起了凯奇问题的独特性。将圆柱体表面附近的有界环区域分为无限的，并使用对贝塞尔功能的渐近分析和1（1的分区）进行了建设性证明。此外，它表明，构建的无限型非专业解决方案可以应用于套管技术，即一种光学迷彩。接下来，我们证明了全局LIPSCHITZ型稳定性，用于源项确定的反问题和系数确定一阶非分离双曲线偏微分方方程，该方程包含时间依赖时间系数。新引入了耗散的概念，该概念是针对系数生成的向量场，并确定了Kahlemann评估。但是，这一结果对系数的时间依赖性有很大的假设，验证是否可以删除这是未来的挑战。此外，我们建立了Kahlemann评估，并证明了对一阶退化双曲部分分化方程的可观察性评估，其中主要部分的系数仅取决于时间。通过在保持规律性的同时将方程式及其解决方案扩展到负时间方向，我们开发了一种对退化方程式建立全球Kahlemann评估的方法。最后，我们建立了Kahlemann评估，并证明了对主要部分同时进行的一阶对称双曲偏微分方程的可观察性评估。通过引入最初用于二阶方程的第二个参数来建立全局Kaleman评估，并发现常规方法可以应用于强同时方程式。