New developments of computer-aided research in algebraic geometry

代数几何计算机辅助研究的新进展

基本信息

批准号：
20H01798
负责人：
島田伊知朗
金额：
$ 6.91万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

引き続き，K3曲面の自己同型群の生成系を数値的ネロン・セヴェリ格子のデータから計算機を用いて決定する方法の研究を行った．K3曲面の自己同型群の生成系は，数値的ネロン・セヴェリ格子の直交群の元の集合として，一般化された Borcherds-Kondo 法により求めることが（原理的には）できる．しかしこれらの生成元の幾何学的意味を数値的ネロン・セヴェリ格子への作用だけから知ることは一般的に難しい問題である．そこで，自己同型群の生成系を幾何学的に実現するために，切断を持つ楕円K3曲面の Mordell-Weil 群の元の数値的ネロン・セヴェリ格子への作用を計算する方法を開発した．また，生成系により与えられた自己同型群の部分群に与えられた別の元が含まれるかどうかを調べる方法を開発した．この方法は，いままで見つかっている生成系に含まれる元のランダムな語を作ってあらたに見つかった別の自己同型を近似し，その近似の精度を上げていくという確率的なものである．さらにK3曲面上の楕円ファイブレーションを自動的に見つけていくプログラムを書いた．これらの方法を組み合わせることで，K3曲面の自己同型群の生成系で，各元の幾何学的な意味がわかっており，かつ冗長度の小さなものを作ることが可能になる．例として，トーラス型の6-cuspidalな6次曲線に沿って分岐する射影平面の二重被覆として得られるK3曲面の自己同型群の幾何学的生成系を求めた．この生成系は 463+360 個の元からなる．このK3曲面はBorcherds- Kondo 法によるネフ錐の有限多面体への分割への自己同型群の作用が複数の軌道を持つ（すなわち simple Borcherds type ではない）という意味でも興味深い例である．このアルゴリズムは他にも広く応用を持つことが期待される．

随后，我们研究了一种利用计算机根据数值 Neron-Severi 晶格数据确定 K3 表面自同构群生成系统的方法。 K3 表面自同构群的生成系统可以（原则上）通过广义 Borcherds-Kondo 方法找到，作为数值 Neron-Severi 晶格的正交群的一组元素。然而，仅从这些生成元对数值 Neron-Severi 晶格的影响来理解它们的几何意义通常是困难的。因此，为了在几何上实现自同构群的生成系统，我们开发了一种计算截断椭圆K3曲面的Mordell-Weil群在数值Neron-Severi晶格上的作用的方法。我们还开发了一种方法来检查给定元素是否包含在生成系统给出的自同构群的子群中。该方法是一种概率方法，将迄今为止发现的生成系统中包含的原始随机词逼近到另一个新发现的自同构，并且提高了逼近的准确性。此外，我编写了一个程序，可以自动查找 K3 表面上的椭圆纤维振动。通过结合这些方法，可以创建一个K3曲面自同构群的生成系统，其中每个元素的几何意义已知且冗余度较小。作为一个例子，我们发现了 K3 表面自同构群的几何生成系统，该系统是作为沿着环形 6 尖头六阶曲线分支的射影平面的双重覆盖而获得的。该生成系统由463+360个元素组成。这个 K3 表面是一个有趣的例子，因为自同构群对通过 Borcherds-Kondo 方法将 Neff 锥划分为有限多面体的作用具有多个轨道（也就是说，它不是简单的 Borcherds 类型）。该算法预计将有广泛的其他应用。

项目成果

期刊论文数量（29）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

Automorphism Groups of Certain Enriques Surfaces

DOI：
10.1007/s10208-021-09530-y
发表时间：
2020-12
期刊：
Foundations of Computational Mathematics
影响因子：
3
作者：
Simon Brandhorst;I. Shimada
通讯作者：
Simon Brandhorst;I. Shimada

Rational double points on Enriques surfaces

恩里克斯曲面上的有理双点

DOI：
10.1007/s11425-019-1796-x
发表时间：
2021
期刊：
Sci. China Math.
影响因子：
0
作者：
Ichiro Shimada
通讯作者：
Ichiro Shimada

Enriques involutions on singular K3 surfaces of small discriminants.

Enrique 在小判别式的奇异 K3 表面上进行对合。

DOI：
10.2422/2036-2145.201902_004
发表时间：
2020
期刊：
Ann. Sc. Norm. Super. Pisa
影响因子：
0
作者：
Shimada;Ichiro;Veniani;Davide Cesare
通讯作者：
Davide Cesare

Computational data of K3 and Enriques surfaces

K3 和 Enriques 曲面的计算数据

DOI：
发表时间：
期刊：
影响因子：
0
作者：
通讯作者：

Classification of Enriques surfaces covered by the supersingular ?3 surface with Artin invariant 1 in characteristic 2

特征 2 中具有 Artin 不变量 1 的超奇异 ?3 表面覆盖的 Enriques 表面的分类

DOI：
10.2969/jmsj/81778177
发表时间：
2021
期刊：
Journal of the Mathematical Society of Japan
影响因子：
0.7
作者：
平島雅也;羽倉信宏;日本学校教育学会国際交流委員会編（小池由美子）;谷隅勇太・塩谷和基・廣川純也・櫻井芳雄・眞部寛之;T. Hisamoto;Shigeyuki Kondo
通讯作者：
Shigeyuki Kondo