平面曲線の特異点の配置と補集合の基本群

平面曲线奇异点和基本补群的放置

基本信息

批准号：
02F00297
负责人：
島田伊知朗
金额：
$ 0.83万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02F00297/
关键词：
双対曲線基本群特異点 6次曲線

项目摘要

PhoはCanadaのWilfrid Laurier UniversityのI.S.Kotsiereas教授との共同研究により,平面代数曲線の交点数を効率よく求めるアルゴリズムを開発した.これはPhoによるMaple package "SCURVE"のコマンドの一つとして実現されている.一般の4次の平面曲線の双対曲線の次数は12次であり24個の通常尖点をもつ.この双対曲線の定義方程式が,4次式fの3乗と6次式gの2乗の和として書き表されること,つまりトーラスタイプであることを示し,もとの4次曲線の定義方程式からfとgを求める簡単で美しい公式を見いだした。この定理の系として,非特異4次曲線の双対曲線の補集合の基本群から(4,6)-型のトーラスタイプの群への全射が存在することがわかる.上記の定理は,双対曲線のアフィン部分の定義方程式が1変数の4次式の判別式の引き戻しとして得られるという簡単な事実から証明される.この事実をもちいることにより,現在,平面曲線の双対曲線の補集合の基本群を計算中である。4次の平面曲線が4次のflex points(つまりその点における接線は曲線に4次の重複度をもって接する)を持つ場合,双対曲線にはE_6型の特異点が現れる.4次のflex pointsの個数の可能性.および個数が多い場合の4次曲線の定義方程式の標準型はすでに求められている.個数が多い場合の4次曲線の双対曲線の定義方程式をもとめ,その補集合の基本群のアレクサンダー多項式を計算した.その結果,ザリスキペアの新しい例を発見した.

Pho通过与加拿大Wilfrid Laurier大学的I.S. Kotsiereas教授共同研究，开发了一种高效计算平面代数曲线交点数量的算法。该算法基于Pho的Maple包。它是作为“SCURVE”命令之一实现的。一般的四阶平面曲线的对偶曲线的阶数为12阶，通常有24个尖点。该对偶曲线的定义方程为4阶，表明它可以。表示为公式f的立方与6阶g的平方之和，即是环面型，是从原定义方程求f和g的简单而优美的公式我找到了四次曲线。作为该定理的推论，我们可以看出，存在从非奇异四次曲线的对偶曲线的补集的基本群到(4,6)型环面群的满射，由下式证明。一个简单的事实是，曲线的仿射部分的定义方程可以作为一个变量的四次判别式的回拉来获得。利用这个事实，我们现在可以计算平面曲线的对偶曲线的补集。正在计算组。如果 4 阶平面曲线有 4 阶弯曲点（即该点的切线与具有 4 阶重数的曲线相切），则对偶曲线上会出现 E_6 类型的奇点。4 阶弯曲我们已经找到了点数较多时四次曲线定义方程的标准形式，并计算了基本群的亚历山大多项式。由此，我们发现了一个新的例子。扎里斯基夫妇中的一员。